Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°.
Возможны два случая:
1) точка F лежит между A и C (рис. 1);
2) точка A лежит между F и C (рис. 2).
Рассмотрим первый случай.
поэтому треугольники CDF и CDB равны (обща сторона и все углы равны). Значит, BC = FC = AC − AF = 5.
Тогда искомый радиус равен 
Рассмотрим второй случай.
∠AFD = ∠AED = ∠ABC, поэтому треугольники CDF и CDB равны. Значит, BC = FC = AC + AF = 11. Тогда искомый радиус равен 
Ответ: 
Примечание.
При внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что 
— самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задания ЕГЭ 2012 года. При проверке полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.