Ре­ше­ние. а)  Пусть ровно треть задач лег­кие, а осталь­ные  — труд­ные. Пусть треть школь­ни­ков решит все лег­кие за­да­чи и ровно по­ло­ви­ну труд­ных, а дру­гая треть школь­ни­ков решит все лег­кие за­да­чи и дру­гую по­ло­ви­ну труд­ных. По­след­няя треть школь­ни­ков пусть не решит ни­че­го. Тогда все усло­вия вы­пол­не­ны.

Дру­гой при­мер. Пусть на кон­троль­ной было три за­да­чи, а в клас­се три школь­ни­ка, при­чем пер­вый решил первую и вто­рую за­да­чи, вто­рой решил вто­рую и тре­тью за­да­чи, а тре­тий школь­ник ни­че­го не решил. Все усло­вия вы­пол­не­ны: пер­вая и тре­тья за­да­чи  — труд­ные, двое школь­ни­ков спра­ви­лись с двумя из трех задач.

б)  Пусть всего задач  — З, ре­шен­ных задач  — Р, а школь­ни­ков Ш че­ло­век. Если три чет­вер­ти школь­ни­ков ре­ши­ли не мень­ше трех чет­вер­тей задач, то общее число ре­шен­ных задач удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

С дру­гой сто­ро­ны, каж­дую труд­ную за­да­чу ре­ши­ло не более чет­вер­ти уче­ни­ков, и таких задач было не мень­ше трех чет­вер­тей от об­ще­го числа задач, по­это­му число ре­шен­ных труд­ных задач не пре­вос­хо­дит З · Ш. Лег­ких задач при этом было не более одной чет­вер­ти, и даже если каж­дую лег­кую за­да­чу ре­ши­ли все уче­ни­ки, весь класс решил не более

задач. Между по­лу­чен­ны­ми не­ра­вен­ства­ми про­ти­во­ре­чие.

Дру­гое ре­ше­ние пунк­та б). Пусть число труд­ных задач Т, лег­ких задач  — Л, а дру­гие обо­зна­че­ния такие же как ранее. Тогда

по­сколь­ку

Из по­лу­чен­ных оце­нок сле­ду­ет не­ра­вен­ство:

По­де­лим все на 0,25Ш и пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

но тогда 3Т ≤  5Л, а по усло­вию долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство Т ≥ 3Л. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем не­ра­вен­ства:

После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем, что, с одной сто­ро­ны, Т ≤ 0,8Л, а с дру­гой, по усло­вию, Т ≥ 3,5Л. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да; б)  да, из­ме­нит­ся; в)  да, из­ме­нит­ся.

При­ве­дем ре­ше­ние за­да­чи в общем виде.

Пусть: M  — ко­ли­че­ство пи­сав­ших ра­бо­ту школь­ни­ков, N  — ко­ли­че­ство задач в ра­бо­те, a  — ми­ни­маль­ная доля труд­ных задач, рав­ная по усло­вию ми­ни­маль­ной доле школь­ни­ков, успеш­но на­пи­сав­ших кон­троль­ную ра­бо­ту, то есть ре­шив­ших не менее, чем aN задач. Пусть также P  — общее ко­ли­че­ство ре­шен­ных задач. Тогда

С дру­гой сто­ро­ны, aN задач (труд­ных) ре­ши­ли не более чем (1 − a)M школь­ни­ков, и если даже осталь­ные за­да­чи решат все школь­ни­ки, то

Чтобы двой­ное не­ра­вен­ство вы­пол­ня­лось, долж­но быть то есть

Для пунк­та а) это усло­вие вы­пол­ня­ет­ся: сле­до­ва­тель­но, такая си­ту­а­ция воз­мож­на. Для пунк­тов б) и в) это усло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, и такая си­ту­а­ция не­воз­мож­на.