Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 506028
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 21 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 боль­ше или равно 0, новая стро­ка \log _49 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _7 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 21 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 2 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс 2 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 8 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 умно­жить на 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 21 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 168 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , новая стро­ка 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 42 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _4 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x боль­ше или равно \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1.

Не­ра­вен­ство 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 168 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ре­ше­ний не имеет.

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: левая квад­рат­ная скоб­ка \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Огра­ни­че­ния на x: x боль­ше минус 2. Для таких x:

\log _49 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _7 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но \log _49 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше \log _49 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но x плюс 3 мень­ше x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 3x плюс 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 4 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше дробь: чис­ли­тель: минус 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x боль­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти ..

Для пе­ре­се­че­ния по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов с огра­ни­че­ни­я­ми на x до­ка­жем не­ра­вен­ства: минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 2 и дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше минус 2.

минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 2 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 3 боль­ше 4 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та боль­ше 1 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

 

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше минус 2 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3 боль­ше минус 4 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 1 (не­ра­вен­ство верно).

Итак, мно­же­ством ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Для пе­ре­се­че­ния ре­ше­ний обоих не­ра­венств до­ка­жем, что \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Для этого до­ста­точ­но по­ка­зать, что \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше 0, дробь: чис­ли­тель: минус 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 0. Не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: минус 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 0 оче­вид­но, по­сколь­ку ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та мень­ше 3:

\log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 рав­но­силь­но \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше \log _44 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 боль­ше 4 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та боль­ше 6 рав­но­силь­но 46 боль­ше 36 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство левая квад­рат­ная скоб­ка \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка \log _4 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 46 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 31
Классификатор алгебры: Си­сте­мы не­ра­венств
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025