Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 506028

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка {{2} в степени 2x плюс 1 } минус 21 умножить на {{ левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка } в степени 2x плюс 2 } плюс 2 больше или равно 0,  новая строка {{\log }_{49}}(x плюс 3) минус {{\log }_{7}}(x плюс 2) меньше 0. конец системы .

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы:

{{2} в степени 2x плюс 1 } минус 21 умножить на {{ левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка } в степени 2x плюс 2 } плюс 2 больше или равно 0 равносильно 2 умножить на {{4} в степени x } минус дробь, числитель — 21, знаменатель — 4 умножить на {{4 в степени x }} плюс 2 больше или равно 0 равносильно 8 умножить на {{4} в степени 2x } плюс 8 умножить на {{4} в степени x } минус 21 больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно совокупность выражений  новая строка {{4} в степени x } меньше или равно дробь, числитель — минус 4 минус корень из { 16 плюс 168}, знаменатель — 8 ,  новая строка {{4} в степени x } больше или равно дробь, числитель — минус 4 плюс корень из { 4 умножить на (4 плюс 42)}, знаменатель — 8 конец совокупности . равносильно {{4} в степени x } больше или равно дробь, числитель — минус 2 плюс корень из { 46}, знаменатель — 4 равносильно {{4} в степени x } больше или равно {{4} в степени {{\log _{4}} дробь, числитель — корень из { 46} минус 2, знаменатель — 4 }} равносильно x больше или равно {{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1.

Неравенство {{4} в степени x } меньше или равно дробь, числитель — минус 4 минус корень из { 16 плюс 168}, знаменатель — 8 решений не имеет.

Решения первого неравенства системы: [{{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1; плюс принадлежит fty ).

Решим второе неравенство системы. Ограничения на x: x больше минус 2. Для таких x:

{{\log }_{49}}(x плюс 3) минус {{\log }_{7}}(x плюс 2) меньше 0 равносильно {{\log }_{49}}(x плюс 3) меньше {{\log }_{49}}({{x} в степени 2 } плюс 4x плюс 4) равносильно

 

 равносильно x плюс 3 меньше {{x} в степени 2 } плюс 4x плюс 4 равносильно {{x} в степени 2 } плюс 3x плюс 1 больше 0 равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше дробь, числитель — минус 3 минус корень из { 9 минус 4}, знаменатель — 2 ,  новая строка x больше дробь, числитель — минус 3 плюс корень из { 5}, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше минус дробь, числитель — корень из { 5} плюс 3, знаменатель — 2 ,  новая строка x больше дробь, числитель — корень из { 5} минус 3, знаменатель — 2 конец совокупности ..

Для пересечения полученных результатов с ограничениями на x докажем неравенства:  минус дробь, числитель — корень из { 5} плюс 3, знаменатель — 2 меньше минус 2 и  дробь, числитель — корень из { 5} минус 3, знаменатель — 2 больше минус 2.

 минус дробь, числитель — корень из { 5} плюс 3, знаменатель — 2 меньше минус 2 равносильно корень из { 5} плюс 3 больше 4 равносильно корень из { 5} больше 1 (неравенство очевидное).

 

 дробь, числитель — корень из { 5} минус 3, знаменатель — 2 больше минус 2 равносильно корень из { 5} минус 3 больше минус 4 равносильно корень из { 5} больше минус 1 (неравенство верно).

Итак, множеством решений второго неравенства системы является  левая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 5} минус 3, знаменатель — 2 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Для пересечения решений обоих неравенств докажем, что {{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1 больше дробь, числитель — корень из { 5} минус 3, знаменатель — 2 .

Для этого достаточно показать, что {{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1 больше 0,  дробь, числитель — минус 3 плюс корень из { 5}, знаменатель — 2 меньше 0. Неравенство  дробь, числитель — минус 3 плюс корень из { 5}, знаменатель — 2 меньше 0 очевидно, поскольку  корень из { 5} меньше 3:

{{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1 больше 0 равносильно {{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка больше 1 равносильно {{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка больше {{\log }_{4}}4 равносильно корень из { 46} минус 2 больше 4 равносильно

 

 равносильно корень из { 46} больше 6 равносильно 46 больше 36 (неравенство очевидное).

Следовательно, решением исходной системы является множество [{{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1; плюс принадлежит fty ).

 

Ответ: [{{\log }_{4}} левая круглая скобка корень из { 46} минус 2 правая круглая скобка минус 1; плюс принадлежит fty ).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 31.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы неравенств
Классификатор базовой части: 2.2.3 Показательные неравенства, 2.2.4 Логарифмические неравенства, 2.2.9 Метод интервалов