РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-⁠то из кучек на две меньших, пока у него не оказалось 100 кучек по одному камешку.

а)  возможно ли, что в какой-⁠то момент в каких-⁠то 30 кучках было ровно 60 камешков;

б)  возможно ли, что в какой-⁠то момент в каких-⁠то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

в)  мог ли Костя действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков?

Решение. а)  Дождемся, когда кучек станет 70. Среди них найдется 40 кучек по одному камешку, (иначе камешков будет не меньше, чем 2 · 31 + 39  =  101). Если отбросить эти 40 кучек, останется 30 кучек, содержащих 60 камешков.

б)  Докажем по индукции, что при n = 2, 3, … 20 в некоторый момент найдется 2n + 6 камней в n + 20 кучках.

База: n  =  20. После сорокового хода у нас 100 камней в 40 кучках.

Шаг: пусть n > 2 и есть 2n + 6 камней в n + 20 кучках. Среди них найдется кучка из двух камней или 2 кучки по одному камню, поскольку (n + 19) + 1 > 2n + 60. Отбросим их и во втором случае дождемся, когда Костя разобьет одну из оставшихся кучек на две. Тогда n уменьшится на единицу.

При n  =  2 имеем 64 камня в 22 кучках. Докажем, что мы можем набрать 4 камня двумя или более кучками. Пусть нет, тогда если есть кучка из одного камня, то камней не меньше, чем 1 + 1 + 1 + 4 · 19 > 64 если нет, то камней не меньше, чем 2 + 3 · 21 > 64. Противоречие. Отбросив эти 4 камня мы получим 60 камней в 20 или менее кучках. Если кучек меньше 20, то осталось дождаться, когда кучек станет ровно 20.

в)  Пусть Костя отделяет от самой большой кучи по три камешка до тех пор, пока не останется кучка из четырех камней. До сих пор была ровно одна куча, число камешков в которой не делилось на 3. Сумма в любых 19 кучках с ее участием не делилась на 3, а без неё не превосходила 57, то есть не могла равняться 60. Затем пусть Костя разделит кучку из 4 камней на две кучи по два камня. Теперь в каждой куче не больше трех камней, поэтому в любых 19 кучах не более 57 камней.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  да, мог.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506013	а)  да; б)  да; в)  да, мог.

Ключ