ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506012 Добавить в вариант

Найти все значения a при каждом из которых неравенство

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс ax плюс 6 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию a 3\geqslant0$

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax плюс 5 конец аргумента =t, t больше или равно 0.$ Получим

$минус логарифм по основанию a левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию a 3=0,$

$логарифм по основанию a 3= логарифм по основанию a левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка ,$

$1= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка$ (перешли к основанию 3)

Поскольку функция в правой части монотонно возрастает при неотрицательных t, у этого уравнения есть не более одного корня. Корень t  =  2 легко угадывается.

Итак, нужно, чтобы уравнение $x в квадрате плюс ax плюс 5=4$ имело единственный корень. Для этого нужно, чтобы $a=\pm 2.$ Но при $a= минус 2$ корней у исходного уравнения нет совсем (поскольку −2 не может быть основанием логарифма).

Ответ: $a=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 28

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Источник/автор: (также) ДВИ МГУ, механико-математический факультет, 1980

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Александр Пьянков 09.03.2017 11:36

Но ведь тогда t=2, а не 1

Александр Иванов

Спасибо. Исправили