№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д10 C3 № 505962

Решите систему неравенств:  система выражений  новая строка {{4} в степени {{\log _{2}}x}} плюс {{x} в степени 2 } меньше 8,  новая строка {{\log }_{ дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{2}}x}}}(4{{x} в степени 2 } минус 20x плюс 22) меньше 0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Найдем ограничения на x самой системы:

 система выражений  новая строка x больше 0,  новая строка 4{{x} в степени 2 } минус 20x плюс 22 больше 0,  новая строка {{\log }_{2}}x больше 0,  новая строка {{\log }_{2}}x не равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше 0,  новая строка 2{{x} в степени 2 } минус 10x плюс 11 больше 0,  новая строка x больше 1,  новая строка x не равно 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше 1,  новая строка x не равно 2,  новая строка x меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 25 минус 22}, знаменатель — 2 конец системы . или  система выражений  новая строка x больше 1,  новая строка x не равно 2,  новая строка x больше дробь, числитель — 5 плюс корень из { 3}, знаменатель — 2 . конец системы ..

Покажем, что

1 меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 меньше 2. 1 меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 меньше 2 равносильно 2 меньше 5 минус корень из { 3} меньше 4 равносильно минус 3 меньше минус корень из { 3} меньше минус 1 равносильно

 

 равносильно 1 меньше корень из { 3} меньше 3 равносильно 1 меньше 3 меньше 9 (неравенство верно).

Очевидно, что  дробь, числитель — 5 плюс корень из { 3}, знаменатель — 2 больше 2, поскольку  дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 больше 2.

Итак, получаем ограничения на x: 1 меньше x меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 ,x больше дробь, числитель — 5 плюс корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Рассмотрим первое неравенство системы:

{{4} в степени {{\log _{2}}x}} плюс {{x} в степени 2 } меньше 8 равносильно система выражений  новая строка x больше 1,  новая строка {{2} в степени {{\log _{2}}{{x} в степени 2 }}} плюс {{x} в степени 2 } меньше 8 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше 1,  новая строка {{x} в степени 2 } плюс {{x} в степени 2 } меньше 8 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше 1,  новая строка {{x} в степени 2 } меньше 4 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше 2.

С учетом разрешенных значений x получим решения первого неравенства системы: 1 меньше x меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Теперь решим второе неравенство системы на множестве разрешенных значений x методом рационализации:

{{\log }_{ дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{2}}x}}}(4{{x} в степени 2 } минус 20x плюс 22) меньше 0 равносильно {{\log }_{{{\log }_{2}}x}}(4{{x} в степени 2 } минус 20x плюс 22) больше 0 равносильно ({{\log }_{2}}x минус 1) умножить на (4{{x} в степени 2 } минус 20x плюс 21) больше 0 равносильно

 

 равносильно ({{\log }_{2}}x минус {{\log }_{2}}2) умножить на левая круглая скобка {{x} в степени 2 } минус 5x плюс дробь, числитель — 21, знаменатель — 4 правая круглая скобка больше 0 равносильно (x минус 2) умножить на левая круглая скобка {{x} в степени 2 } минус 5x плюс дробь, числитель — 21, знаменатель — 4 правая круглая скобка больше 0 равносильно

 

 равносильно (x минус 2) умножить на левая круглая скобка {{x} в степени 2 } минус левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 правая круглая скобка x плюс дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно (x минус 2) умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 правая круглая скобка больше 0.(*)

Заметим, что при всех значениях x принадлежит (1;2) решения первого неравенства системы — справедливы неравенства  минус 2 меньше 0, x минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 меньше 0. Следовательно, (x минус 2) левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 правая круглая скобка больше 0 на указанном множестве. Тогда на этом же множестве решения неравенства (*) есть множество  левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ;2 правая круглая скобка .

Для получения окончательного результата докажем неравенство  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 :

 дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 равносильно 3 меньше 5 минус корень из { 3} равносильно корень из { 3} меньше 2 равносильно 3 меньше 4 (неравенство очевидное).

Пресечение ранее полученных результатов с решениями второго неравенства будет множество  левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ; дробь, числитель — 5 минус корень из { 3}, знаменатель — 2 правая круглая скобка .