PDF-версии: 
Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.
Решение. Введем систему координат с началом в точке O и осями, направленными вдоль OM и биссектрисы угла DOA. Пусть
Рассмотрим случай, когда точка C лежит на отрезке OD.
Тогда координаты точек будут: 
Найдем уравнение прямой AD: 
Найдем координаты пересечения этой прямой с осью x: 
тогда 
Итак, 
Найдем уравнение прямой CM: 
и уравнение прямой AO: 
Пусть B — точка их пересечения. Подставляя, имеем:
тогда 
и 
Наконец,
Рассмотрим случай, когда точка D лежит на отрезке OC.
Тогда координаты точек будут: 
Найдем уравнение прямой AD: Найдем координаты пересечения этой прямой с осью x: тогда Итак,
Найдем уравнение прямой CM: 
и уравнение прямой AO: Пусть B — точка их пересечения. Подставляя, имеем:
тогда 
и 
Наконец,
Ответ: 2; 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |