Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505900

Дано уравнение {{ синус } в степени 4 }9x плюс {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=1.

а) Решите уравнение.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

{{ синус } в степени 4 }9x плюс {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=1 равносильно (1 минус {{ синус } в степени 2 }9x) умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x) минус {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=0 равносильно

 

 равносильно {{ косинус } в степени 2 }9x умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x) минус {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=0 равносильно

 

 равносильно {{ косинус } в степени 2 }9x умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x)=0. косинус 9x=0; 9x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z .

 

1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x=0 равносильно 1 плюс 1 минус {{ косинус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x=0 равносильно {{ косинус } в степени 7 }15x плюс {{ косинус } в степени 2 }9x=2.

Последнее равенство возможно только при выполнении условия:  система выражений  новая строка косинус 15x=1,  новая строка косинус 9x=\pm 1 конец системы ., так как \left| косинус x | меньше или равно 1 для любого значения x. Далее будем иметь:

 система выражений  новая строка 15x=2 Пи n,  новая строка 9x= Пи k,k принадлежит Z конец системы . система выражений  новая строка x= дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 15 ,  новая строка x= дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 9 ,k принадлежит Z . конец системы .

Теперь решим уравнение  дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 15 = дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 9 в целых числах. Оно равносильно уравнению  дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 5 = дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 3 , которое верно при 6 Пи n=5 Пи k. Равенство выполняется при n=5m и k=6m. Отсюда x= дробь, числитель — 10 Пи m, знаменатель — 15 = дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z .

Итак, корни заданного уравнения имеют вид:  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z ;  дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z .

б) Отбор искомых корней. Из серии корней  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z , решив неравенство  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи n, знаменатель — 9 больше или равно минус 2 Пи относительно целых n, получим: n больше или равно минус 18. Каждое последующее значение корня вычисляется путем прибавления к нему  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 .

Т. е.

{{x}_{1}}= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 умножить на ( минус 18)= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 минус 2 Пи = минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{2}}= минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{3}}= минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 ;

 

{{x}_{4}}= минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{5}}= минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{6}}= минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 ;

 

{{x}_{7}}= минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{8}}= минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{9}}= минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 ;

 

{{x}_{10}}= минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{11}}= минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{12}}= минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 ;

 

{{x}_{13}}= минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 ; {{x}_{14}}= минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 18 = минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 .

Дальнейшие поиски корней из этой серии не имеют смысла.

Из серии корней  дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z :

 минус 2 Пи меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 меньше или равно минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ;  минус 2 меньше или равно дробь, числитель — 2m, знаменатель — 3 меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;  минус 3 меньше или равно m меньше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ; {{m}_{1}}= минус 3; {{m}_{2}}= минус 2; {{m}_{3}}= минус 1.

При m= минус 3 {{x}_{15}}= минус 2 Пи , при m= минус 2 {{x}_{16}}= минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 , при m= минус 1 {{x}_{17}}= минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 .

 

Ответ: а)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z ;  дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z . б)  минус 2 Пи ;  минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 ;  минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 ;  минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 10.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения высших степеней