ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д5 C1 № 505900

Дано уравнение ${{ синус } в степени 4 }9x плюс {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .$

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

${{ синус } в степени 4 }9x плюс {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=1 равносильно (1 минус {{ синус } в степени 2 }9x) умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x) минус {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=0 равносильно$

$равносильно {{ косинус } в степени 2 }9x умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x) минус {{ косинус } в степени 7 }15x умножить на {{ косинус } в степени 2 }9x=0 равносильно$

$равносильно {{ косинус } в степени 2 }9x умножить на (1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x)=0. косинус 9x=0; 9x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z .$

$1 плюс {{ синус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x=0 равносильно 1 плюс 1 минус {{ косинус } в степени 2 }9x минус {{ косинус } в степени 7 }15x=0 равносильно {{ косинус } в степени 7 }15x плюс {{ косинус } в степени 2 }9x=2.$

Последнее равенство возможно только при выполнении условия: $система выражений новая строка косинус 15x=1, новая строка косинус 9x=\pm 1 конец системы .,$ так как $\left| косинус x | меньше или равно 1$ для любого значения $x.$ Далее будем иметь:

$система выражений новая строка 15x=2 Пи n, новая строка 9x= Пи k,k принадлежит Z конец системы . система выражений новая строка x= дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 15 , новая строка x= дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 9 ,k принадлежит Z . конец системы .$

Теперь решим уравнение $дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 15 = дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 9$ в целых числах. Оно равносильно уравнению $дробь, числитель — 2 Пи n, знаменатель — 5 = дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 3 ,$ которое верно при $6 Пи n=5 Пи k.$ Равенство выполняется при $n=5m$ и $k=6m.$ Отсюда $x= дробь, числитель — 10 Пи m, знаменатель — 15 = дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z .$

Итак, корни заданного уравнения имеют вид: $дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z ;$ $дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z .$

б) Отбор искомых корней. Из серии корней $дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z ,$ решив неравенство $дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи n, знаменатель — 9 больше или равно минус 2 Пи$ относительно целых $n,$ получим: $n больше или равно минус 18.$ Каждое последующее значение корня вычисляется путем прибавления к нему $дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 .$

Т. е.

${{x}_{1}}= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 умножить на ( минус 18)= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 минус 2 Пи = минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{2}}= минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{3}}= минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 ;$

${{x}_{4}}= минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{5}}= минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{6}}= минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 ;$

${{x}_{7}}= минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{8}}= минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{9}}= минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 ;$

${{x}_{10}}= минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{11}}= минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{12}}= минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 ;$

${{x}_{13}}= минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 ;$ ${{x}_{14}}= минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 = минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 18 = минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 .$

Дальнейшие поиски корней из этой серии не имеют смысла.

Из серии корней $дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z :$

$минус 2 Пи меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 меньше или равно минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ;$ $минус 2 меньше или равно дробь, числитель — 2m, знаменатель — 3 меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;$ $минус 3 меньше или равно m меньше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ;$ ${{m}_{1}}= минус 3;$ ${{m}_{2}}= минус 2; {{m}_{3}}= минус 1.$

При $m= минус 3 {{x}_{15}}= минус 2 Пи ,$ при $m= минус 2 {{x}_{16}}= минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 ,$ при $m= минус 1 {{x}_{17}}= минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 .$

Ответ: а) $дробь, числитель — Пи , знаменатель — 18 плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 9 n,n принадлежит Z ;$ $дробь, числитель — 2 Пи m, знаменатель — 3 ,m принадлежит Z .$ б) $минус 2 Пи$ ; $минус дробь, числитель — 35 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 33 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 31 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 29 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 27 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 25 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 ;$ $минус дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 21 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 19 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 18 ;$ $минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 .$