ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505887 Добавить в вариант

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, па каждой стороне  — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника  — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника?

Спрятать решение

Решение.

Пусть в вершинах треугольника стоят числа $a,b,c.$ Из условия следует равенство:

$abc плюс ab плюс ac плюс bc плюс a плюс b плюс c=1000.$

Добавим к обеим частям единицу:

$abc плюс ab плюс ac плюс bc плюс a плюс b плюс c плюс 1=1001,$

$ab левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка плюс a левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка плюс c плюс 1=7 умножить на 11 умножить на 13,$

$левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ab плюс a плюс b плюс 1 правая круглая скобка =7 умножить на 11 умножить на 13,$

$левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =7 умножить на 11 умножить на 13.$

Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой части  — простые числа. Значит, с точностью до перестановки, числа $a плюс 1,$ $b плюс 1,$ $c плюс 1$ равны 7, 11, 13. Значит, числа в вершинах треугольника на единицу меньше и равны 6, 10, 12.

Ответ: 6, 10, 12.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 7

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь