№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д10 C3 № 505792

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка 4 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} плюс корень из { 14} меньше или равно 14 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x минус 2 }, знаменатель — {{2 в степени x } минус 1}},  новая строка {{\log }_{2 минус 5x}}3 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{2}}(2 минус 5x)} меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}} левая круглая скобка 6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1 правая круглая скобка }. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем первое неравенство:

4 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} плюс корень из { 14} меньше или равно 14 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x минус 2 }, знаменатель — {{2 в степени x } минус 1}} равносильно 4 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} плюс корень из { 14} минус 14 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x }, знаменатель — 4({{2 в степени x } минус 1)}} меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно 4 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} плюс корень из { 14} минус 7 умножить на корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x }, знаменатель — {{2 в степени x } минус 1}} меньше или равно 0.

Заметим, что выражения  корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} и  корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x }, знаменатель — {{2 в степени x } минус 1}} являются взаимно обратными. Второе из них имеет смысл при выполнении условия {{2} в степени x } больше 1, т. е. при x больше 0. Следовательно, решения первого неравенства системы следует искать на множестве  левая круглая скобка 0; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Пусть  корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}}=t, t больше 0. Тогда первое неравенство примет вид: 4t плюс корень из { 14} минус дробь, числитель — 7, знаменатель — t меньше или равно 0, или 4{{t} в степени 2 } плюс корень из { 14}t минус 7 меньше или равно 0. Найдем корни левой части этого неравенства:

4{{t} в степени 2 } плюс корень из { 14}t минус 7=0 равносильно t= дробь, числитель — минус корень из { 14}\pm корень из { 14 плюс 112}, знаменатель — 8 равносильно t= дробь, числитель — минус корень из { 14}\pm корень из { 126}, знаменатель — 8 равносильно t= дробь, числитель — минус корень из { 14}\pm 3 корень из { 14}, знаменатель — 8 .

 

{{t}_{1}}= дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 4 ;{{t}_{2}}= минус дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 2 .

Таким образом, при t больше 0:

4{{t} в степени 2 } плюс корень из { 14}t минус 7 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t плюс дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 0 меньше t меньше или равно дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 4 .

Перейдем к переменной x. Будем иметь:

0 меньше корень из { дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }}} меньше или равно дробь, числитель — корень из { 14}, знаменатель — 4 равносильно 0 меньше дробь, числитель — {{2} в степени x } минус 1, знаменатель — {{2 в степени x }} меньше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 равносильно 0 меньше 8 умножить на {{2} в степени x } минус 8 меньше или равно 7 умножить на {{2} в степени x } равносильно система выражений  новая строка 8 умножить на {{2} в степени x } минус 8 больше 0  новая строка 8 умножить на {{2} в степени x } минус 8 меньше или равно 7 умножить на {{2} в степени x } конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка {{2} в степени x } больше 1  новая строка 8 умножить на {{2} в степени x } минус 7 умножить на {{2} в степени x } меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x больше 0  новая строка {{2} в степени x } меньше или равно {{2} в степени 3 } конец системы . равносильно 0 меньше x меньше или равно 3.

Решения первого неравенства системы множество  левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка .

Рассмотрим второе неравенство системы на  левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка . Найдем ограничения на x:

 система выражений  новая строка 5x минус 2 меньше 0,  новая строка 2 минус 5x не равно 1,  новая строка 6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1 больше 0,  новая строка 6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ,  новая строка x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ,  новая строка совокупность выражений x меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 9 минус 6}, знаменатель — 6 , x больше дробь, числитель — 3 плюс корень из { 3}, знаменатель — 6 , конец системы .  новая строка 6x(x минус 1) не равно 0, конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка x меньше дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ,  новая строка x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ,  новая строка x меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 ,  новая строка x не равно 0,  новая строка x не равно 1. конец системы .

Докажем, что  дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 меньше дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 :

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 меньше дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 равносильно 6 меньше 15 минус 5 корень из { 3} меньше 12 равносильно минус 9 меньше минус 5 корень из { 3} меньше минус 3 равносильно 3 меньше 5 корень из { 3} меньше 9 равносильно

 

 равносильно 9 меньше 75 меньше 81 (неравенство очевидное).

Ограничения на x с учетом решений первого неравенства выглядят так:

 система выражений  новая строка 0 меньше x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ,  новая строка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 меньше x меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 . конец системы .

То есть решения неравенства будут принадлежать множеству  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 правая круглая скобка .

 

На этом множестве:

{{\log }_{2 минус 5x}}3 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{2}}(2 минус 5x)} меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)} равносильно {{\log }_{2 минус 5x}}3 плюс {{\log }_{2 минус 5x}}2 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)}

 

 равносильно {{\log }_{2 минус 5x}}6 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)} равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(2 минус 5x)} меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)} равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — {{\log }_{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1) минус {{\log }_{6}}(2 минус 5x), знаменатель — {{\log _{6}}(2 минус 5x) умножить на {{\log }_{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)} меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(2 минус 5x)} минус дробь, числитель — 1, знаменатель — {{\log _{6}}(6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1)} меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 6{{x} в степени 2 } минус 6x плюс 1 минус 2 плюс 5x, знаменатель — (2 минус 5x минус 1) умножить на (6{{x в степени 2 } минус 6x плюс 1 минус 1)} меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 6{{x} в степени 2 } минус x минус 1, знаменатель — (5x минус 1) умножить на (6{{x в степени 2 } минус 6x)} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 6{{x} в степени 2 } минус x минус 1, знаменатель — x умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1 {5, знаменатель — п равая круглая скобка умножить на (x минус 1)} больше или равно 0.

Найдем корни числителя левой части последнего неравенства:

6{{x} в степени 2 } минус x минус 1=0 равносильно x= дробь, числитель — 1\pm корень из { 1 плюс 24}, знаменатель — 12 равносильно x= дробь, числитель — 1\pm 5, знаменатель — 12 равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . конец совокупности .

Итак,

 дробь, числитель — 6{{x} в степени 2 } минус x минус 1, знаменатель — x умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1 {5, знаменатель — п равая круглая скобка умножить на (x минус 1)} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 правая круглая скобка , знаменатель — { x умножить на левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка умножить на (x минус 1)} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , знаменатель — { левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка умножить на (x минус 1)} больше или равно 0.

Прежде чем получить окончательный результат докажем неравенство  дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . Действительно,

 дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно 3 минус корень из { 3} меньше 3 равносильно минус корень из { 3} меньше 0 (неравенство очевидное).

При любом значении x, удовлетворяющему условию 0 меньше x меньше дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 , выполняются неравенства: x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше 0,x минус 1 меньше 0. Следовательно, на множестве  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 правая круглая скобка :

 дробь, числитель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , знаменатель — { левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 правая круглая скобка умножить на (x минус 1)} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус дробь, числитель — 1 {5, знаменатель — } больше или равно 0 равносильно x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 больше 0 равносильно x больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .

Решения исходной системы:  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 3 минус корень из { 3}, знаменатель — 6 правая круглая скобка .