РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505790 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 73

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $\log _ синус 2x левая круглая скобка тангенс x плюс \ctg x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Найдем ограничения на $x:$

$система выражений новая строка синус 2x больше 0, новая строка синус 2x не равно 1, новая строка косинус x не равно 0, новая строка синус x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка 2 Пи n меньше 2x меньше Пи плюс 2 Пи n, новая строка 2x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n, новая строка x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая строка x не равно Пи n конец системы . равносильно система выражений новая строка Пи n меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x не равно Пи n,n принадлежит Z . конец системы .$

Для таких $x:$

$\log _ синус 2x левая круглая скобка тангенс x плюс \ctg x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 равносильно \log _ синус 2x левая круглая скобка дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 равносильно$ $\log _ синус 2x левая круглая скобка тангенс x плюс \ctg x правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 равносильно$
$равносильно \log _ синус 2x левая круглая скобка дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби правая круглая скобка =1 минус логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x, знаменатель: синус x умножить на косинус x конец дроби минус 1=0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x умножить на косинус x конец дроби минус 1=0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 синус x умножить на косинус x конец дроби минус 1=0$ $равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x умножить на косинус x конец дроби минус 1=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 синус x умножить на косинус x конец дроби минус 1=0$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 2, знаменатель: синус 2x конец дроби минус 1=0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x2 минус \log _ синус 2x синус 2x минус 1=0 равносильно$ $равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x дробь: числитель: 2, знаменатель: синус 2x конец дроби минус 1=0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x2 минус \log _ синус 2x синус 2x минус 1=0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка в квадрате 2 плюс \log _ синус 2x2 минус 2=0 равносильно совокупность выражений новая строка \log _ синус 2x2=1, новая строка \log _ синус 2x2= минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка синус 2x=2, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате 2x конец дроби =2. конец совокупности .$

Уравнение $синус 2x=2$ решений не имеет, кроме того, $синус 2x больше 0.$ Значит, остается единственное уравнение $синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби :$

$синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, новая строка 2x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

Замечание: при нахождении ограничений на x включать в систему условие $тангенс x плюс \ctg x больше 0$ надобности нет, так как выполнение этого условия обеспечит другое неравенство, а именно $синус 2x больше 0.$

Действительно, как было показано выше $тангенс x плюс \ctg x= дробь: числитель: 1, знаменатель: синус x умножить на косинус x конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: синус 2x конец дроби .$ Отсюда ясно, что условие $тангенс x плюс \ctg x больше 0$ выполняется, как только будет выполнено условие $синус 2x больше 0.$

б)  Искомому промежутку принадлежат лишь два корня: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби$ и $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505790

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 73

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505790	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$