Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505746
i

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a при каж­дом из ко­то­рых число це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ний не­ра­вен­ства

x в квад­ра­те плюс 5 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3|x минус a| плюс a\leqslant0

мак­си­маль­но.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При x боль­ше или равно a имеем x в квад­ра­те плюс 8x плюс 5 минус 2a мень­ше или равно 0, то есть левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 2a плюс 11. Если a мень­ше минус 5,5, это во­об­ще не­воз­мож­но. Кроме того, при a боль­ше минус 1 имеем левая круг­лая скоб­ка a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 2a плюс 11, и левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те воз­рас­та­ет при x боль­ше или равно минус 1, по­это­му на дан­ном про­ме­жут­ке нет ре­ше­ний не­ра­вен­ства.

Если же a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 5.5; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то все воз­мож­ные целые x на­хо­дят­ся в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 7; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­сколь­ку 2a плюс 11 мень­ше 16. Мы го­во­рим лишь о воз­мож­но­сти, по­сколь­ку не срав­ни­ва­ли эти зна­че­ния с гра­ни­ца­ми про­ме­жут­ка. Не­со­мнен­но, при не­ко­то­рых a эти точки так и не по­па­дут на нуж­ные про­ме­жут­ки.

При x мень­ше или равно a имеем x в квад­ра­те плюс 2x плюс 5 плюс 4a мень­ше или равно 0, то есть левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно минус 4a минус 4. Если a боль­ше минус 1, это во­об­ще не­воз­мож­но. Кроме того, при a мень­ше минус 5 имеем левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше минус 4a минус 4, и левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те убы­ва­ет при x мень­ше или равно минус 5, по­это­му на дан­ном про­ме­жут­ке нет ре­ше­ний не­ра­вен­ства.

Если же a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 5; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то все воз­мож­ные целые x на­хо­дят­ся в про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 5;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­сколь­ку минус 4a минус 4 мень­ше или равно 16.

Итак, толь­ко целые числа от −7 до 3 воз­мож­но могут хоть при каких-то a (от −5,5 до 1 ) быть ре­ше­ни­я­ми дан­но­го не­ра­вен­ства. Вы­яс­ним те­перь про каж­дое из них, при каких a оно дей­стви­тель­но ре­ше­ние.

x= минус 7.19 плюс 3|a плюс 7| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при до­пу­сти­мых a.

x= минус 6.11 плюс 3|a плюс 6| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при до­пу­сти­мых a.

x= минус 5.5 плюс 3|a плюс 5| плюс a мень­ше или равно 0.3|a плюс 5| мень­ше или равно минус a минус 5. Оче­вид­но, это воз­мож­но толь­ко при a= минус 5.

x= минус 4.1 плюс 3|a плюс 4| плюс a мень­ше или равно 0. Решая это не­ра­вен­ство, на­хо­дим a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 5,5; минус 3,25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

x= минус 3. минус 1 плюс 3|a плюс 3| плюс a мень­ше или равно 0. Решая это не­ра­вен­ство, на­хо­дим a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 5; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

x= минус 2. минус 1 плюс 3|a плюс 2| плюс a мень­ше или равно 0. Решая это не­ра­вен­ство, на­хо­дим a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3,5; минус 1,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

x= минус 1.1 плюс 3|a плюс 1| плюс a мень­ше или равно 0.3|a плюс 1| мень­ше или равно минус a минус 1. Оче­вид­но, это воз­мож­но толь­ко при a= минус 1.

x=0.5 плюс 3|a| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при по­ло­жи­тель­ных a, а при про­чих a имеем 5 минус 2a мень­ше или равно 0, что тоже не­воз­мож­но.

x=1.11 плюс 3|a минус 1| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при до­пу­сти­мых a.

x=2.19 плюс 3|a минус 2| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при до­пу­сти­мых a.

x=3.29 плюс 3|a минус 3| плюс a мень­ше или равно 0. Оче­вид­но, это не­воз­мож­но при до­пу­сти­мых a.

Из этой таб­ли­цы видно, что ни при каком a не будет более трех целых ре­ше­ний. Ровно три ре­ше­ния по­лу­ча­ют­ся при a= минус 5 или a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3,5; минус 3,25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка минус 5 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3,5; минус 3,25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 65
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025