Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 505746

Найти все значения параметра a при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

x в квадрате плюс 5 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3|x минус a| плюс a\leqslant0

максимально.

Спрятать решение

Решение.

При x больше или равно a имеем x в квадрате плюс 8x плюс 5 минус 2a меньше или равно 0, то есть  левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2a плюс 11. Если a меньше минус 5,5, это вообще невозможно. Кроме того, при a больше минус 1 имеем  левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка в квадрате больше 2a плюс 11, и  левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате возрастает при x больше или равно минус 1, поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же a принадлежит левая круглая скобка минус 5.5; минус 1 правая квадратная скобка , то все возможные целые x находятся в промежутке  левая квадратная скобка минус 7; минус 1 правая квадратная скобка , поскольку 2a плюс 11 меньше 16. Мы говорим лишь о возможности, поскольку не сравнивали эти значения с границами промежутка. Несомненно, при некоторых a эти точки так и не попадут на нужные промежутки.

При x меньше или равно a имеем x в квадрате плюс 2x плюс 5 плюс 4a меньше или равно 0, то есть  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно минус 4a минус 4. Если a больше минус 1, это вообще невозможно. Кроме того, при a меньше минус 5 имеем  левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше минус 4a минус 4, и  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате убывает при x меньше или равно минус 5, поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же a принадлежит левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая квадратная скобка , то все возможные целые x находятся в промежутке  левая квадратная скобка минус 5;3 правая квадратная скобка , поскольку  минус 4a минус 4 меньше или равно 16.

Итак, только целые числа от −7 до 3 возможно могут хоть при каких-то a (от −5,5 до 1 ) быть решениями данного неравенства. Выясним теперь про каждое из них, при каких a оно действительно решение.

x= минус 7.19 плюс 3|a плюс 7| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при допустимых a.

x= минус 6.11 плюс 3|a плюс 6| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при допустимых a.

x= минус 5.5 плюс 3|a плюс 5| плюс a меньше или равно 0.3|a плюс 5| меньше или равно минус a минус 5. Очевидно, это возможно только при a= минус 5.

x= минус 4.1 плюс 3|a плюс 4| плюс a меньше или равно 0. Решая это неравенство, находим a принадлежит левая квадратная скобка минус 5,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .

x= минус 3. минус 1 плюс 3|a плюс 3| плюс a меньше или равно 0. Решая это неравенство, находим a принадлежит левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка .

x= минус 2. минус 1 плюс 3|a плюс 2| плюс a меньше или равно 0. Решая это неравенство, находим a принадлежит левая квадратная скобка минус 3,5; минус 1,5 правая квадратная скобка .

x= минус 1.1 плюс 3|a плюс 1| плюс a меньше или равно 0.3|a плюс 1| меньше или равно минус a минус 1. Очевидно, это возможно только при a= минус 1.

x=0.5 плюс 3|a| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при положительных a, а при прочих a имеем 5 минус 2a меньше или равно 0, что тоже невозможно.

x=1.11 плюс 3|a минус 1| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при допустимых a.

x=2.19 плюс 3|a минус 2| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при допустимых a.

x=3.29 плюс 3|a минус 3| плюс a меньше или равно 0. Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Из этой таблицы видно, что ни при каком a не будет более трех целых решений. Ровно три решения получаются при a= минус 5 или a принадлежит левая квадратная скобка минус 3,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 3,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром