РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найти все значения параметра a при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

$x в квадрате плюс 5 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3|x минус a| плюс a\leqslant0$

максимально.

Решение. При $x больше или равно a$ имеем $x в квадрате плюс 8x плюс 5 минус 2a меньше или равно 0,$ то есть $левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 2a плюс 11.$ Если $a меньше минус 5,5,$ это вообще невозможно. Кроме того, при $a больше минус 1$ имеем $левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка в квадрате больше 2a плюс 11,$ и $левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате$ возрастает при $x больше или равно минус 1,$ поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же $a принадлежит левая круглая скобка минус 5.5; минус 1 правая квадратная скобка ,$ то все возможные целые x находятся в промежутке $левая квадратная скобка минус 7; минус 1 правая квадратная скобка ,$ поскольку $2a плюс 11 меньше 16.$ Мы говорим лишь о возможности, поскольку не сравнивали эти значения с границами промежутка. Несомненно, при некоторых a эти точки так и не попадут на нужные промежутки.

При $x меньше или равно a$ имеем $x в квадрате плюс 2x плюс 5 плюс 4a меньше или равно 0,$ то есть $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно минус 4a минус 4.$ Если $a больше минус 1,$ это вообще невозможно. Кроме того, при $a меньше минус 5$ имеем $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше минус 4a минус 4,$ и $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ убывает при $x меньше или равно минус 5,$ поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же $a принадлежит левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая квадратная скобка ,$ то все возможные целые x находятся в промежутке $левая квадратная скобка минус 5;3 правая квадратная скобка ,$ поскольку $минус 4a минус 4 меньше или равно 16.$

Итак, только целые числа от −7 до 3 возможно могут хоть при каких-то a (от −5,5 до 1 ) быть решениями данного неравенства. Выясним теперь про каждое из них, при каких a оно действительно решение.

$x= минус 7.19 плюс 3|a плюс 7| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при допустимых a.

$x= минус 6.11 плюс 3|a плюс 6| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при допустимых a.

$x= минус 5.5 плюс 3|a плюс 5| плюс a меньше или равно 0.3|a плюс 5| меньше или равно минус a минус 5.$ Очевидно, это возможно только при $a= минус 5.$

$x= минус 4.1 плюс 3|a плюс 4| плюс a меньше или равно 0.$ Решая это неравенство, находим $a принадлежит левая квадратная скобка минус 5,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .$

$x= минус 3. минус 1 плюс 3|a плюс 3| плюс a меньше или равно 0.$ Решая это неравенство, находим $a принадлежит левая квадратная скобка минус 5; минус 2 правая квадратная скобка .$

$x= минус 2. минус 1 плюс 3|a плюс 2| плюс a меньше или равно 0.$ Решая это неравенство, находим $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3,5; минус 1,5 правая квадратная скобка .$

$x= минус 1.1 плюс 3|a плюс 1| плюс a меньше или равно 0.3|a плюс 1| меньше или равно минус a минус 1.$ Очевидно, это возможно только при $a= минус 1.$

$x=0.5 плюс 3|a| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при положительных a, а при прочих a имеем $5 минус 2a меньше или равно 0,$ что тоже невозможно.

$x=1.11 плюс 3|a минус 1| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при допустимых a.

$x=2.19 плюс 3|a минус 2| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при допустимых a.

$x=3.29 плюс 3|a минус 3| плюс a меньше или равно 0.$ Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Из этой таблицы видно, что ни при каком a не будет более трех целых решений. Ровно три решения получаются при $a= минус 5$ или $a принадлежит левая квадратная скобка минус 3,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 3,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505746	$a принадлежит левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 3,5; минус 3,25 правая квадратная скобка .$

Ключ