Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 505744

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка \log _4 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка \log _4 левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка в квадрате больше или равно \log _2 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка .  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Решим первое неравенство системы. Найдем ограничения на х: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 1 равносильно x больше 0. Для таких x:

\log _4 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на \log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс 3 больше или равно 0 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус \log _216 правая круглая скобка плюс 3 больше или равно 0 равносильно

 

 равносильно \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка плюс 3 больше или равно 0.

Пусть \log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =t. Тогда:

 t левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка плюс 3 больше или равно 0 равносильно t в квадрате минус 4t плюс 3 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка t меньше или равно 1,  новая строка t больше или равно 3. конец совокупности .

Таким образом,

\log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 меньше или равно 2 равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно x меньше или равно 1.

 

\log _2 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 3 равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 больше или равно 8 равносильно 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 9 равносильно x больше или равно 2 .

Решения первого неравенства системы с учетом ограничений на x:  левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Теперь рассмотрим второе неравенство системы на множестве решений первого неравенства.

Нетрудно заметить, что при x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка выражение \log _2 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка смысла не имеет, поскольку при этих значениях x x в квадрате минус 1 меньше или равно 0.

При x больше или равно 2 второе неравенство системы примет вид:

\log _4 левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка в квадрате больше или равно \log _2 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка равносильно \log _2|2x минус 3| больше или равно \log _2 левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка равносильно

 

 равносильно 2x минус 3 больше или равно x в квадрате минус 1 равносильно x в квадрате минус 2x плюс 2 меньше или равно 0.

Но полученное неравенство решений не имеет, поскольку  дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =1 минус 2 меньше 0. Таким образом, ни одно решение первого неравенства не является также решением второго неравенства.

 

Ответ: решений нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65.
Классификатор алгебры: Системы неравенств
Методы алгебры: Введение замены