Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 C3 № 505744
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка \log _4 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  новая стро­ка \log _4 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно \log _2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .  конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на х: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 рав­но­силь­но x боль­ше 0. Для таких x:

\log _4 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \log _2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _216 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 боль­ше или равно 0.

Пусть \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =t. Тогда:

 t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 4t плюс 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка t мень­ше или равно 1,  новая стро­ка t боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом,

\log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но x мень­ше или равно 1.

 

\log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 боль­ше или равно 8 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 9 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 2 .

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы с уче­том огра­ни­че­ний на x:  левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства.

Не­труд­но за­ме­тить, что при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­ра­же­ние \log _2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка смыс­ла не имеет, по­сколь­ку при этих зна­че­ни­ях x x в квад­ра­те минус 1 мень­ше или равно 0.

При x боль­ше или равно 2 вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы при­мет вид:

\log _4 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно \log _2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но \log _2|2x минус 3| боль­ше или равно \log _2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но 2x минус 3 боль­ше или равно x в квад­ра­те минус 1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс 2 мень­ше или равно 0.

Но по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство ре­ше­ний не имеет, по­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1 минус 2 мень­ше 0. Таким об­ра­зом, ни одно ре­ше­ние пер­во­го не­ра­вен­ства не яв­ля­ет­ся также ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства.

 

Ответ: ре­ше­ний нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 65
Классификатор алгебры: Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: