Ре­ше­ние. а)  Пусть Из­вест­но, что в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность в том и толь­ко в том слу­чае, если суммы про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равны. Сле­до­ва­тель­но, MN + BC = AM + CN. По­сколь­ку по усло­вию за­да­чи MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка АВС, то Тогда ВM + CN = BC + MN = 9,5 + 4,75 = 14,25. В таком слу­чае также будет вы­пол­не­но усло­вия: АМ + АN = 14,25, АВ + АС = 2 · 14,25 = 28,5.

За­ме­тим, что 3BC=3 · 9,5=28,5. Зна­чит, АВ + АС = 3. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Про­ве­дем вы­со­ту Пусть AC  =  x, тогда В 

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов будем иметь:

(не под­хо­дит, так как 28,5 − 18,5 = 10, в таком слу­чае 18,5 не есть дина мень­шей из бо­ко­вых сто­рон).

При­ме­ча­ние:

К та­ко­му же ре­зуль­та­ту можно прий­ти и таким об­ра­зом:

Пусть АС = х, СН = у. Тогда

В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках AHC и AHBпо тео­ре­ме Пи­фа­го­ра будем иметь:

Решим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы от­но­си­тель­но y с учётом пер­во­го урав­не­ния.

Под­став­ляя по­лу­чен­ное зна­че­ние у в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим:

(не под­хо­дит, так как 28,5 - 18,5 = 10, в таком слу­чае 18,5 не есть дина мень­шей из бо­ко­вых сто­рон) .

Ответ: 10.