РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 505640 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =25 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни на промежутке $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  

$5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =25 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 синус правая круглая скобка в квадрате x плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 минус 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно$ $равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 минус 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 1 плюс косинус 2x= синус 2x равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно$ $равносильно 5 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка синус 2x правая круглая скобка равносильно 1 плюс косинус 2x= синус 2x равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно$

$равносильно 2 косинус x левая круглая скобка косинус x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=0, новая строка синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)   Выборка корней. Будем искать строго положительные корни.

Из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$

При $n=0$ $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;$ при $n=1$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.

Из серии $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z :$

При $n=0$ $x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби ;$ $Пи больше 2$ (неравенство очевидное).

При $n=1$ $x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 меньше 5 Пи меньше 6 Пи$ (неравенство очевидное).

При $n=2$ $x_= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби больше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 6 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Дальнейшие поиски корней из данной серии смысла не имеют.

Итак, $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $x_3= Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x_4= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n|n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

505640

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n|n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	505640	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n\|n принадлежит Z ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$