Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. Тогда AO и BM  — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABD, зна­чит,

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков BPN и MPA на­хо­дим, что

Зна­чит, Из до­ка­зан­но­го сле­ду­ет, что BP  =  PR  =  RM.

б)  Пусть пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна S. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков MRA и BRC с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­ду­ет, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка BRC, про­ведённая к сто­ро­не BC, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к той же сто­ро­не. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка BRC равна

Ана­ло­гич­но найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNP. Его вы­со­та, про­ведённая к BN, со­став­ля­ет вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ведённой к сто­ро­не BC, сама сто­ро­на BN в че­ты­ре раза мень­ше сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма BC. По­это­му

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь четырёхуголь­ни­ка PRCN равна

Ответ: 14.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Юлии Еро­хи­ной.

По усло­вию M  — се­ре­ди­на AD, BN : NC  =  1 : 3. Тогда, по­ла­гая BN  =  x, по­лу­ча­ем: NC  =  3x, AM  =  MD  =  2x. Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC бук­ва­ми P и R со­от­вет­ствен­но.

Тре­уголь­ник BRC по­до­бен тре­уголь­ни­ку ARM по двум углам (углы BRC и ARM равны как вер­ти­каль­ные, углы BCR и MAR равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей), сле­до­ва­тель­но, Пусть RM  =  y, тогда BR  =  2y, BM  =  3y.

Тре­уголь­ник BPN по­до­бен тре­уголь­ни­ку APM по двум углам (углы BPN и APM равны как вер­ти­каль­ные, углы BNP и MAP равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей), сле­до­ва­тель­но, Пусть BP  =  z, тогда PM  =  2z, BM  =  3z.

Таким об­ра­зом, 3y  =  3z, от­ку­да y  =  z, то есть BP  =  PR  =  RM.