PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN : NC = 2 : 1.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.
Решение. а) Спроектируем прямую MC на плоскость ABCD, проекцией будет являться прямая AC. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
б) Отрезок NK параллелен AC (точка K принадлежит ребру MA). Пусть NK пересекает MO в точке P(O — центр основания пирамиды), причём
тогда точка P является точкой пересечения медиан треугольника MBD. Прямая BP пересекает ребро MD в точке E. Четырёхугольник BNEK — искомое сечение.
Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,
Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и NK четырёхугольника BNEK перпендикулярны, следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |