PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.
а) Докажите, что AC' перпендикулярна прямой BE.
б) Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.
Решение. а) Проекция прямой AC' на плоскость ABC — прямая AC. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и BE перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
откуда 
Плоскость 
проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид 
Для координат точек C и 
имеем систему уравнений:
Не теряя общности, положим 
тогда 
Уравнение плоскости : 
вектор нормали к ней 
Тогда искомый угол между прямой 
и плоскостью равен
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Заметим, 
в силу того, что 
и 
значит, плоскость содержит прямую 
следовательно, 
и AK — проекция 
Следовательно, 
— искомый, поскольку это угол между прямой и ее проекцией 
Рассмотрим прямоугольный 
(поскольку 
— диагональ квадрата 
).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |