Тип 19 № 501071 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем 
от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более 
от общего числа детей, евших конфеты.
а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение. а) Если за столом было 5 мальчиков, евших только бутерброды, 8 мальчиков, евших только конфеты, и 12 девочек, каждая из которых ела и то и другое, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 25 детей могло быть 13 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 14 или больше. Тогда девочек было 11 или меньше. Пусть число мальчиков, евших бутерброды равно m1. Тогда число 
не больше , чем доля мальчиков, евших бутерброды среди всех детей, евших бутерброды, а это число не больше, чем 
откуда 
и, следовательно, 
Пусть m2 — число мальчиков, евших конфеты. Аналогично, 
откуда, учитывая, что m2 число целое, находим: 
Но тогда общее число мальчиков, евших хоть что-то не больше, чем 5 + 7 = 12. Следовательно, по крайней мере, 2 мальчика ничего не ели, а это противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 25 учащихся могло быть 13 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 13.
в) Предположим, что некоторый мальчик ел и конфеты, и бутерброды. Если бы вместо него было два мальчика, один из которых ел только конфеты, а другой — только бутерброды, то доля мальчиков, евших конфеты и доля мальчиков, евших бутерброды, остались бы прежними, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек можно считать, что каждый мальчик ел или только конфеты, или только бутерброды.
Пусть, как прежде, m1 мальчиков ели бутерброды, m2 ели конфеты, и всего было d девочек. Оценим долю девочек. Будем считать, что каждая девочка ела и конфеты, и бутерброды, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля среди евших конфеты и доля среди евших бутерброды не станут меньше.
По условию 
значит, 
Тогда 
поэтому доля девочек равна
Осталось показать, что такая доля девочек действительно могла быть. Например, если из 70 детей 15 мальчиков ели только бутерброды, 22 мальчика ели только конфеты, и еще было 33 девочки, каждая из которых ела и то, и другое, то условие задачи выполнено, а доля девочек в точности равна 
Ответ: а) да; б) 13; в)
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― искомая оценка в п. а; ― пример в п. а, обеспечивающий точность предыдущей оценки; ― искомая оценка в п. б; ― пример в п. б, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) 13;
в) 501071
а) да; б) 13;
в) 
PDF-версии: