Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну Ис­ход­ное урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда имеет хотя бы одно ре­ше­ние си­сте­ма

Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

При си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. При имеем:

Итак, си­сте­ма имеет ре­ше­ния при

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель дроби на по­лу­чим:

Сде­ла­ем за­ме­ну Из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что Имеем: Те­перь за­да­чу можно сфор­му­ли­ро­вать так: най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию

Пе­рей­дем к си­сте­ме:

За­ме­тим, что ни при одном зна­че­нии a число не яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния.

Рас­смот­рим функ­цию Её гра­фик  — па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Сле­до­ва­тель­но, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­ня­ет­ся одно из трех усло­вий:

1.  Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко боль­ший из них лежит на про­ме­жут­ке (0; 1])(см. рис. 1), то есть

2.  Трёхчлен имеет два раз­лич­ных корня, и толь­ко мень­ший из них лежит на про­ме­жут­ке (0; 1] (см. рис. 2), то есть

3.  Трёхчлен имеет два корня, воз­мож­но, сов­па­да­ю­щих, и оба лежат на про­ме­жут­ке (0; 1] (см. рис. 3), то есть

где   — абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы.

Эти усло­вия со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щим спо­со­бам рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка функ­ции :

Решим си­сте­му:

Решим си­сте­му:

Решим си­сте­му: от­ку­да

Ответ:

При­ве­дем идею ре­ше­ние Ки­рил­ла Пет­ро­ва.

Введём за­ме­ну При на­хо­дим:

По­стро­им гра­фик функ­ции (см. рис.) и за­ме­тим, что гра­фик имеет вер­ти­каль­ную асимп­то­ту t  =  4 и го­ри­зон­таль­ную асимп­то­ту a  =  3. Па­ра­метр a при­ни­ма­ет все зна­че­ния, кроме [3; 4).