PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений 
имеет ровно два решения.
Решение. Система не изменяется при одновременной замене x на y, а y на x, при одновременной замене x на –x, а y на –y, при одновременной замене x на –y, а y на –x. Следовательно, есть система имеет решение 
то она имеет и решения 
и 
Чтобы система имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать.
Пары 
и совпадать не могут, поскольку в этом случае первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что невозможно одновременно.
Если 
то первое уравнение системы принимает вид 
а второе принимает вид 
что также невозможно.
Остается случай 
Теперь первое уравнение системы принимает вид а второе принимает вид 
В этом случае 
откуда получаем единственное возможное значение 
При найденном значении параметра система действительно имеет ровно два решения:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:
При 
второе уравнение системы, а значит, и вся система решений не имеет. При 
уравнения системы задают прямые:
Ясно (см. рис.), что при 
система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при 
— два решения (координаты точек M и N).
Ответ:
Приведём аналитическое решение.
Из второго уравнения системы находим, что число 
является решением системы, если 
При этом значении параметра система принимает вид
и имеет 4 решения: 
или 
Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы система имела ровно два решения, необходимо, чтобы 
а потому 
и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:
Из второго уравнения полученной системы по каждому значению х можно найти единственное значение y. Значит, система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда ровно два решения имеет первое уравнение. Сделаем замену 
получим уравнение
Исходная задача равносильна требованию найти все значения параметра, при которых полученное уравнение при 
имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета 
значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: 
Полученное выражение обращается в нуль при При этом значении параметра уравнение имеет корень 
Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое.
Ответ:
Приведем идею еще одного решения.
Заменим второе уравнение разностью первого и второго уравнений, получим равносильную систему:
При 
полученная система несовместна. При 
первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми
Построив графики, убеждаемся, что искомый случай соответствует касанию окружности с найденными прямыми.
Ответ:
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |