РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 484629 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Показательные уравнения, Системы с параметром, Системы уравнений, Уравнение с модулем

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Источник/автор: Некрасов В. Б., Гущин Д. Д. «Просвещение», 2010; Гущин Д. Д. «Учительская газета», 2013; ЕГЭ по математике − 2021

Задача с параметром. Использование симметрий

Известно, что значение параметра а таково, что система уравнений

$система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка натуральный логарифм y правая круглая скобка =4 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка , новая строка \log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2a в квадрате правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 минус ax в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 конец системы .$

имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.

Решение. Из первого уравнения системы получаем

$2 в степени левая круглая скобка натуральный логарифм y правая круглая скобка =4 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка равносильно y=e в степени левая круглая скобка 2|x| правая круглая скобка .$

Заметим, что если пара $левая круглая скобка x; y правая круглая скобка$   — решение системы, то пара $левая круглая скобка минус x; y правая круглая скобка$   — также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара $левая круглая скобка 0;y правая круглая скобка .$ Таким образом, $x=0$ и из второго уравнения получаем:

$\log _2 левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка =\log _21 плюс 1 равносильно \log _2 левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате =2 равносильно совокупность выражений новая строка a=1, новая строка a= минус 1. конец совокупности .$ $\log _2 левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка =\log _21 плюс 1 равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2a в квадрате =2 равносильно совокупность выражений новая строка a=1, новая строка a= минус 1. конец совокупности .$

Проверим, действительно ли система при найденных значениях a имеет единственное решение.

1.  Если $a=1,$ то второе уравнение системы имеет единственное решение:

$\log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2=2 минус 2x в квадрате y в квадрате равносильно y в квадрате левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x=0.$ $\log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 минус x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2=2 минус 2x в квадрате y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно x=0.$

Тогда $y=e в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,$ а значит, пара (0; 1) является единственным решением системы.

2.  Если $a= минус 1,$ то второе уравнение системы имеет три решения:

$\log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2=2 плюс 2x в квадрате y в квадрате равносильно y в квадрате левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$ $\log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2=2 плюс 2x в квадрате y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$ $\log _2 левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2 правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка 1 плюс x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка y в квадрате плюс 2=2 плюс 2x в квадрате y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2x в квадрате правая круглая скобка =0\undersety больше 0\mathop равносильно$
$\undersety больше 0\mathop равносильно x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , новая строка x= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$

Каждому из найденных значений x соответствует значение $y=e в степени левая круглая скобка 2|x| правая круглая скобка ,$ а потому система имеет три решения.

Ответ: система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ при $a=1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Ответ: система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ при $a=1.$

484629

система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ при $a=1.$

Источники:

ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484629	система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ при $a=1.$