PDF-версии: 
Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.
Решение. Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
Первый случай. Пусть окружность с центром O1 имеет радиус r = 4, окружность центром O2 имеет радиус R = 9, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A || O2B, точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D = EF.
Кроме того,
Далее имеем:
Второй случай. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R = 9, окружность с центром O имеет радиус r = 4, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Аналогично случаю 1 имеем:
Ответ: 1,44 или 36.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |