PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.
а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.
б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
Решение. а) Пусть ребро тетраэдра — a, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника
Тогда 
значит, 
Точка O делит медиану DN в отношении 
считая от вершины D, поэтому 
б) 
— искомый. Из пункта а) 
Далее имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |