По­че­му SC вы­со­та??

Ре­шить эту за­да­чу можно и длин­нее, но го­раз­до более "тра­ди­ци­он­ным" спо­со­бом! Итак:

1) Т.к. по усл. SA=SB=SC=L=3, то по т. Пи­фа­го­ра в ∆ASB: AB=√(3^2+3^2 )=3√2

Ана­ло­гич­но для ∆ASC и ∆BSC. По­это­му ∆ABC, леж-й в ос­но­ва­нии - рав­но­стор-й, со сто­ро­ной a=3√2.

2) S(∆ABC)=(a^2 √3)/4=...=4,5√3 (она же - пло­щадь ос­но­ва­ния). Оста­лось найти вы­со­ту. Доп.постр: SO⊥(ABC), причём т.к. АВС-рав­но­стор-й (что было док. выше), то т. О - центр мед., бисс., и высот этого тре­уголь­ни­ка.

Найдём вы­со­ту ос­но­ва­ния СК, причём О∈СК и SK∩CK=K (SK-мед., бис и выс. рав­ноб треуг. ASB).

3) С одной сто­ро­ны: S(∆ABC)=(a^2 √3)/4=...=4,5√3

С дру­гой сто­ро­ны: S(∆ABC)=1/2*AB*CK

От­ку­да (с уч. того, что AB=a=3√2), по­лу­чим

CK=(a√3)/2=...=1,5√6

Счи­тая что ме­ди­а­ны точ­кой пе­ре­сеч-я де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 к 1 счи­тая от вер­ши­ны, найдём ОК=1/3*CK=0,5√6

4) Прак­ти­че­ски всё! По­след­ний "рывок":

∆ASК (т. Пиф): SK^2=3^2-(a/2)^2=9-18/4=4,5 (не из­вле­каю ко­рень из SK, т.к. сле­ду­ю­щим дей­стви­ем всё равно "об­рат­но" воз­во­дить.

∆SКО (т. Пиф): (SO)^2=(SK)^2-(OK)^2=9/2-6/4=3, зна­чит ис­ко­мая вы­со­та h=SO=√3, и вот тогда

5) V=1/3*Sосн*h=1/3*(4,5√3)*√3=4,5

По­бе­да!!!