Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 132217

Найдите наибольшее значение функции y= минус 12 тангенс x плюс 24x минус 6 Пи плюс 2 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'= дробь, числитель — минус 12, знаменатель — косинус в степени 2 x плюс 24= дробь, числитель — 12(2 косинус в степени 2 x минус 1), знаменатель — косинус в степени 2 x = дробь, числитель — 12 косинус 2x, знаменатель — косинус в степени 2 x

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка 12 косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи k, k принадлежит Z , минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 , k принадлежит Z , минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ;  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции является большее значение из чисел y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка и y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка . Сравним их:

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка = минус 12 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 6 Пи минус 6 Пи плюс 2= минус 10,

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = минус 12 тангенс левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка плюс 24 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 6 Пи плюс 2=12 корень из { 3} минус 14 Пи плюс 2.

Заметим, что y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка .

Следовательно, наибольшим значением функции будет y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка = минус 10.

 

Ответ: −10.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке