Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 132197

 

Найдите наибольшее значение функции

y= минус 4 тангенс x плюс 8x минус 2 Пи плюс 1

на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Найдите наибольшее значение функции y= минус 2 тангенс x плюс 4x минус Пи минус 3 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Найдем производную заданной функции:

{y}'= дробь, числитель — минус 2, знаменатель — косинус в степени 2 x плюс 4= дробь, числитель — 2(2 косинус в степени 2 x минус 1), знаменатель — косинус в степени 2 x = дробь, числитель — 2 косинус 2x, знаменатель — косинус в степени 2 x

Найдем нули производной:

 система выражений  новая строка 2 косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 ,k принадлежит Z ,  новая строка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшее значение функции достигается либо в точке  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 , либо в точке  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . Найдем эти значения:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка = минус 2 тангенс левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 4 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 минус Пи минус 3=2 корень из 3 минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 минус 3,

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка = минус 2 тангенс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи минус Пи минус 3= минус 5.

Значение −5 больше.

 

Ответ: −5.