Готово, можно копировать.
РЕШУ ЕГЭ — математика профильная
Тригонометрические уравнения и неравенства
1.  
i

При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны \lambda=400 нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол \varphi (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем d синус \varphi= k\lambda. Под каким ми­ни­маль­ным углом \varphi (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1600 нм?

2.  
i

Два тела мас­сой m=2 кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью v =10 м/с под углом 2 альфа друг к другу. Энер­гия (в джо­у­лях), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем Q = m v в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа . Под каким наи­мень­шим углом 2 альфа (в гра­ду­сах) долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лось не менее 50 джо­у­лей?

3.  
i

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной L = 100 м и со ско­ро­стью те­че­ния u =0,5 м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем t = дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа , где альфа   — ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом альфа (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

4.  
i

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью v = 3 м/с под ост­рым углом альфа к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью u = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: m плюс M конец дроби v ко­си­нус альфа (м/с), где m = 80 кг  — масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а M = 400 кг  — масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом альфа (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/⁠с?

5.  
i

Груз мас­сой 0,08 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну v = v _0 синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи t, зна­ме­на­тель: T конец дроби , где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  12 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, v _0=0,5 м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле E= дробь: чис­ли­тель: m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/⁠с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

6.  
i

Груз мас­сой 0,08 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость υ ме­ня­ет­ся по за­ко­ну v = v _0 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи t, зна­ме­на­тель: T конец дроби , где t  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T  =  2 с  — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, v _0=0,5 м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле E= дробь: чис­ли­тель: m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , где m  — масса груза в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость груза в м/⁠с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

7.  
i

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну v левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = 5 синус Пи t (см/с), где t  — время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды ско­рость дви­же­ния была не менее 2,5 см/⁠с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

8.  
i

Мяч бро­си­ли под углом альфа к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле t = дробь: чис­ли­тель: 2 v _0 синус альфа , зна­ме­на­тель: g конец дроби . При каком зна­че­нии угла альфа (в гра­ду­сах) время полeта со­ста­вит 3 се­кун­ды, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью v _0= 30 м/⁠с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g=10 м/с в квад­ра­те .

9.  
i

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку (в Н умно­жить на м), опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой M = NIBl в квад­ра­те синус альфа , где I = 2A  — сила тока в рамке, B = 3 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка Тл  — зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля, l =0,5 м  — раз­мер рамки, N = 1000  — число вит­ков про­во­да в рамке, альфа   — ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла альфа (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Н умно­жить на м?

10.  
i

Дат­чик скон­стру­и­ро­ван таким об­ра­зом, что его ан­тен­на ловит ра­дио­сиг­нал, ко­то­рый затем пре­об­ра­зу­ет­ся в элек­три­че­ский сиг­нал, из­ме­ня­ю­щий­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну U = U_0 синус левая круг­лая скоб­ка \omega t плюс \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка , где t  — время в се­кун­дах, ам­пли­ту­да U0  =  2 В, ча­сто­та ω  =  120°/с, фаза φ  =  –30°. Дат­чик на­стро­ен так, что если на­пря­же­ние в нeм не ниже чем 1 В, за­го­ра­ет­ся лам­поч­ка. Какую часть вре­ме­ни (в про­цен­тах) на про­тя­же­нии пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла ра­бо­ты лам­поч­ка будет го­реть?

11.  
i

Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом q = 2 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет v = 5 м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции B ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол альфа с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля B = 4 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная F_л = q v B синус альфа (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла альфа при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0 гра­ду­сов ;180 гра­ду­сов пра­вая квад­рат­ная скоб­ка шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила F_л была не менее чем 2 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

12.  
i

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом альфа к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Мак­си­маль­ная вы­со­та полeта мя­чи­ка, вы­ра­жен­ная в мет­рах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой H= дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4g конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , где v _0 = 20 м/с  — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те g=10 м/с в квад­ра­те ). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла альфа (в гра­ду­сах) мячик про­ле­тит над сте­ной вы­со­той 4 м на рас­сто­я­нии 1 м?

13.  
i

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом альфа к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ле­та­ет мячик, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле L= дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: g конец дроби синус 2 альфа (м), где v _0=20 м/с  — на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те g=10 м/с в квад­ра­те ). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) мячик пе­ре­ле­тит реку ши­ри­ной 20 м?

14.  
i

Плос­кий за­мкну­тый кон­тур пло­ща­дью S = 0,5 м в квад­ра­те на­хо­дит­ся в маг­нит­ном поле, ин­дук­ция ко­то­ро­го рав­но­мер­но воз­рас­та­ет. При этом со­глас­но за­ко­ну элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея в кон­ту­ре по­яв­ля­ет­ся ЭДС ин­дук­ции, зна­че­ние ко­то­рой, вы­ра­жен­ное в воль­тах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой \mathcal E_i = aS ко­си­нус альфа , где α  — ост­рый угол между на­прав­ле­ни­ем маг­нит­но­го поля и пер­пен­ди­ку­ля­ром к кон­ту­ру, a = 4 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка Тл/с  — по­сто­ян­ная, S  — пло­щадь за­мкну­то­го кон­ту­ра, на­хо­дя­ще­го­ся в маг­нит­ном поле  (в  м2). При каком ми­ни­маль­ном угле α  (в  гра­ду­сах) ЭДС ин­дук­ции не будет пре­вы­шать 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка В ?

15.  
i

Трак­тор тащит сани с силой F=80 кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом альфа к го­ри­зон­ту. Ра­бо­та трак­то­ра (в ки­лод­жо­у­лях) на участ­ке дли­ной S=50 м вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле A=FS ко­си­нус альфа . При каком мак­си­маль­ном угле альфа (в гра­ду­сах) со­вершeнная ра­бо­та будет не менее 2000 кДж?

16.  
i

Дви­га­ясь со ско­ро­стью v =3 м/с, трак­тор тащит сани с силой F=50 кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом α к го­ри­зон­ту. Мощ­ность, раз­ви­ва­е­мая трак­то­ром, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле N = F v ко­си­нус альфа . Най­ди­те, при каком угле альфа (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет равна 75 кВт левая круг­лая скоб­ка \phantom дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: a конец дроби кВт  — это дробь: чис­ли­тель: кН умно­жить на м, зна­ме­на­тель: с конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .