Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)

Каталог заданий

Тип 12 № 513605 Добавить в вариант

а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени (x плюс 2) плюс 45=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10].$

Решение.

а) Разложим левую часть на множители:

$27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени (x плюс 2) плюс 45=0 равносильно 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 9 умножить на 3 в степени x плюс 45=0 равносильно$

$равносильно 9 в степени x (3 в степени x минус 5) минус 9(3 в степени x минус 5)=0 равносильно (3 в степени x минус 5)(9 в степени x минус 9)=0 равносильно совокупность выражений 3 в степени x =5,9 в степени x =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= логарифм по основанию 3 5,x=1. конец совокупности .$

б) Поскольку $1 меньше логарифм по основанию 3 4 меньше логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 10,$ отрезку $[ логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10]$ принадлежит только корень $логарифм по основанию 3 5.$

Ответ: а) $\1; логарифм по основанию 3 5\,$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

Примечание.

Можно было ввести замену $t=3 в степени x ,$ получить уравнение и решить его разложением на множители:

$t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно (t в квадрате минус 9)(t минус 5)=0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .$ Возвращаясь к исходной переменной получаем решение.

Ответ: а) $\1; логарифм по основанию 3 5\,$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

513605

а) $\1; логарифм по основанию 3 5\,$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Группировка, Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.5 Показательные уравнения, 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513605	а) $\1; логарифм по основанию 3 5\,$ б) $логарифм по основанию 3 5.$