
Дано уравнение
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке
а)
Мы получили две серии корней: и
Обратим внимание на то, что среди них имеются совпадающие корни, например, при
и
обращаются в нуль, при
выполняется равенство
при
и т. д. В принципе мы могли бы полученные серии корней оставить такими, какие они есть.
А что значит, решить уравнение? Решить уравнение — значит, найти множество его корней. (Правда, это множество может оказаться и пустым!)
При этом будем иметь в виду, что Это — бесспорно! Однако наш ответ к задаче будет выглядеть более привлекательным, если мы все же пойдем несколько иным путем: постараемся выразить множество решений уравнения через непересекающиеся множества. С этой целью отметим кружочком на единичной окружности все точки, соответствующие серии корней
а крестиком — точки, соответствующие серии корней
Тогда нам легко удастся выделить три серии корней, которые общих элементов не имеют. Такими будут числа вида:
и
б) Отбор искомых корней с помощью единичной окружности в данном случае будет несколько неудобным из-за большого количества корней, принадлежащих заданному отрезку. (Их всего окажется 16). Поэтому отдадим предпочтение другому способу — перебору различных целых значений n для каждой серии решений.
Найдем значение n, при котором Ясно, что таким значением будет −6. Аналогично найдем минимальные значения n, для которых верны неравенства:
Таким значением для обоих последних серий будет число −3.
Полученные результаты занесем в таблицу.
Ответ: а)
б)
0.