PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH, BN и CK являются высотами. Известно, что AK = 2, BH = 3, a 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину высоты BN.
Решение. а) Выразим косинус угла BAC из прямоугольных треугольников ABN и ACK соответственно, получим
Следовательно, треугольники ANK и ABC имеют общий угол BAC, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны, то есть эти треугольники подобны, и тогда 
Аналогично доказывается подобие треугольников HNC и ABC, откуда 
Таким образом,
откуда 
б) В прямоугольном треугольнике AHB катет BH лежит против угла в 30°, поэтому 
откуда 
В прямоугольном треугольнике BKC катет BK лежит против угла в 30°, поэтому 
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
Из доказанного подобия треугольников ANK и ABC находим:
По теореме Пифагора для треугольника ABN получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
