а)  Окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник HBC, по­это­му её центр O яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, лучи CO и HO  — бис­сек­три­сы углов HCB и BHC со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки ABO и CBO равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на BO  — общая, Зна­чит, От­ре­зок OH виден под оди­на­ко­вы­ми уг­ла­ми из точек A и C, по­это­му четырёхуголь­ник ACOH  — впи­сан­ный. Его впи­сан­ные углы AHC и AOC опи­ра­ют­ся на сто­ро­ну AC, а зна­чит, они равны:

б)  Окруж­ность впи­са­на в угол ABC, по­это­му её центр O лежит на бис­сек­три­се BO угла ABC. Про­длим бис­сек­три­су BO до пе­ре­се­че­ния со сто­ро­ной AC в точке M. Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Длина ме­ди­а­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы, а по­то­му для тре­уголь­ни­ка AOC по­лу­ча­ем: Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь равна:

Ответ: б)  120.

а)  Окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник HBC, по­это­му её центр O яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, лучи CO и HO  — бис­сек­три­сы углов HCB и BHC со­от­вет­ствен­но. Тре­уголь­ни­ки ABO и CBO равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на BO  — общая, Зна­чит, От­ре­зок OH виден под оди­на­ко­вы­ми уг­ла­ми из точек A и C, по­это­му четырёхуголь­ник ACOH  — впи­сан­ный. Его впи­сан­ные углы AHC и AOC опи­ра­ют­ся на сто­ро­ну AC, а зна­чит, они равны:

б)  Окруж­ность впи­са­на в угол ABC, по­это­му её центр O лежит на бис­сек­три­се BO угла ABC. Про­длим бис­сек­три­су BO до пе­ре­се­че­ния со сто­ро­ной AC в точке M. Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая к ос­но­ва­нию, также яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной. Длина ме­ди­а­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы, а по­то­му для тре­уголь­ни­ка AOC по­лу­ча­ем: Таким об­ра­зом, ис­ко­мая пло­щадь равна:

Ответ: б)  12.