Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое число n, что 
б) Существует ли такое число n, что 
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n, что 
?
должно делиться на 3, поскольку при делении на 3 число 
даёт такой же остаток, что и число n. При этом 2026 на 3 не делится. Значит, искомого числа n не существует. 
то 
и 
Если 
то 
и 
При n, равных 500, 501, 502, 503, 504, 505 и 506, выражение 
равно 2005, 2010, 2015, 2020, 2025, 2030 и 2035 соответственно. Значит, искомого числа n не существует.
Тогда числа 
и 
имеем 
Отсюда получаем, что 
Среди делителей числа 1170 только один входит в множество допустимых значений для n — это 39. Значит, 
и 
При таких n и k имеем 
Следовательно, не только наименьшим, но и единственным числом k, удовлетворяющим условиям задачи, является число 30. 2
Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое число n, что 
б) Существует ли такое число n, что 
в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n, что 
?
должно делиться на 3, поскольку при делении на 3 число 
то 
и 
Если 
то 
При n, равных 287, 288 и 289, выражение 
равно 2026, 2034 и 2042 соответственно. Значит, искомого числа n не существует.
Тогда числа 
и 
имеем 
Отсюда получаем, что 
Среди делителей числа 1740 только один входит в множество допустимых значений для n — это 29. Значит, 
и 
При таких n и k имеем 
Следовательно, не только наименьшим, но и единственным числом k, удовлетворяющим условиям задачи, является число 60.