ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 688734 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 косинус 2x минус 12 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 7 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Используя формулу приведения $косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус синус x$ и формулу косинуса двойного угла $косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x,$ получаем:

$2 косинус 2x минус 12 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 12 синус x минус 7 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 12 синус x плюс 5 = 0 равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 12 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 12 синус x минус 7 = 0 равносильно 4 синус в квадрате x минус 12 синус x плюс 5 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 12 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 12 синус x минус 7 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x минус 12 синус x плюс 5 = 0 равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим число $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 688734: 688780 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 688780 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения, Формулы двойного угла

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $2 косинус 2x минус 16 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 9 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

а)  Используя формулу приведения $косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = синус x$ и формулу косинуса двойного угла $косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x,$ получаем:

$2 косинус 2x минус 16 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 9 = 0 равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 16 синус x минус 9 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 16 синус x плюс 7 = 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 16 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 9 = 0 равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 16 синус x минус 9 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 16 синус x плюс 7 = 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 16 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 9 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 16 синус x минус 9 = 0 равносильно 4 синус в квадрате x плюс 16 синус x плюс 7 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $2 косинус 2x минус 16 косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 9 = 0 равносильно$
$равносильно 2 минус 4 синус в квадрате x минус 16 синус x минус 9 = 0 равносильно$
$равносильно 4 синус в квадрате x плюс 16 синус x плюс 7 = 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$ Получим число $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 688734: 688780 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе