РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 19 № 681173 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 1;

Задания 19 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 20, меньше, чем чисел, делящихся на 23.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 20?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 20?

в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение. а)  Да, например, среди чисел в диапазоне от 69 до 138 числа 80, 100 и 120 кратны 20, а числа 69, 92, 115, 138 кратны 23.

б)  Нет. Разобьем все числа на группы по 20, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 20. Заметим, что последняя группа, возможно, будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 20. Значит, общее количество чисел не превосходит $10 умножить на 20 плюс 19 = 219.$ Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда $y минус x больше или равно 10$ (иначе чисел не 11), и $23y минус 23x = 23 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка больше или равно 230,$ что невозможно для 219 чисел.

в)  Пусть среди данных чисел есть x чисел, кратных 20. Тогда согласно пункту б) общее количество чисел не больше 20x + 19. C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 23, должна быть не менее 23x, поэтому общее количество чисел не меньше 23x + 1. Имеем:

$23x плюс 1 меньше или равно 20x плюс 19 равносильно 3x меньше или равно 18 равносильно x меньше или равно 6,$

то есть $20x плюс 19 меньше или равно 139.$

Взять 139 чисел можно. Например, подойдут числа от 161 до 299  — среди них 6 чисел кратны 20 и 7 чисел кратны 23.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  139.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  139.

681173

а)  да; б)  нет; в)  139.

Источники:

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 1;

Задания 19 ЕГЭ–2025.

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

2.  Тип 19 № 681203 Добавить в вариант

Источники:

Задания 19 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.

а)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?

б)  Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?

в)  Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение. а)  Да, например, среди чисел в диапазоне от 29 до 116 числа 50, 75 и 100 кратны 25, а числа 29, 58, 87, 116 кратны 29.

б)  Нет. Разобьем все числа на группы по 25, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 25. Заметим, что последняя группа возможно будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 25. Значит, общее количество чисел не превосходит $10 умножить на 25 плюс 24 = 274.$ Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 29. Пусть это 29x и 29y Тогда $y минус x больше или равно 10$   — иначе чисел не 11  — и $29y минус 29x = 29 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка больше или равно 290,$ что невозможно для 274 чисел.

в)  Пусть среди данных чисел есть x кратных 25, тогда общее количество чисел не больше 25x + 24 (см. пункт б). C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 29, должна быть не менее 29x, поэтому общее количество чисел не меньше 29x + 1. Имеем:

$29x плюс 1 меньше или равно 25x плюс 24 равносильно 4x меньше или равно 23 \underset x принадлежит N \mathop равносильно x меньше или равно 5,$

то есть $25x плюс 24 меньше или равно 149.$

Взять 149 чисел можно. Например, подойдут числа от 26 до 174  — среди них 6 чисел кратны 29 и 5 чисел кратны 25.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  149.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  149.

681203

а)  да, б)  нет, в)  149.

Источники:

Задания 19 ЕГЭ–2025;

ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна. Дальний Восток, вариант 2.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681173	а)  да; б)  нет; в)  139.
2	681203	а)  да, б)  нет, в)  149.