Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень.
Решение. Преобразуем уравнение, поделив обе части на положительное выражение 
Пусть 
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x, при 
нет соответствующих значений x. Требуется найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один положительный корень.
При 
получаем:
значит, условие задачи выполнено. При 
заметив, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю, находим корни:
или
Корень 
положителен при любых значениях параметра а, поэтому условие задачи выполнено в двух случаях:
— если два найденных корня совпадают, то есть
— если второй корень не является положительным:
Объединяя результаты всех рассмотренных случаев, получаем, что 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет единственный корень.
тогда каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение x, при 
нет соответствующих значений x. Требуется найти все значения a, при каждом из которых уравнение
получаем
заметив, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю, находим корни:
и 
