РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 17 № 672804 Добавить в вариант

Источник: Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 1

Методы геометрии: Свойства хорд, Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Подобие, Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD и касается его сторон AB и AD в точках K и P соответственно. К хорде KP проведен перпендикуляр CH.

а)  Докажите, что треугольники CBK и CHP подобны.

б)  Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH  =  7.

Решение. а)  По теореме об угле между касательной и хордой $\angle BKC = \angle KPC.$ Из этого следует, что прямоугольные треугольники CBK и CHP подобны по двум углам.

б)  Аналогично пункту а) доказывается подобие прямоугольных треугольников CHK и CDP. Тогда верны равенства:

$дробь: числитель: CB, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: CP конец дроби ,$

$дробь: числитель: CH, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: CP конец дроби ,$

откуда

$CB умножить на CP = CH умножить на CK,$

$CK умножить на CD = CH умножить на CP.$

Перемножая полученные выражения, получаем

$CB умножить на CP умножить на CK умножить на CD = CH в квадрате умножить на CK умножить на CP равносильно CB умножить на CD = CH в квадрате ,$

откуда $S_ABCD = 49.$

Ответ: б)  49.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  49.

672804

б)  49.

Источник: Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 1

Методы геометрии: Свойства хорд, Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Подобие, Окружности и треугольники

2.  Тип 17 № 672942 Добавить в вариант

Источник: Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 2

Методы геометрии: Свойства хорд, Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Подобие, Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

а)  Докажите, что треугольники CKH и CPD подобны.

б)  Найдите площадь прямоугольника ABCD, если CH  =  8.

Решение. а)  По теореме об угле между касательной и хордой $\angle CKP = \angle CPD.$ Тогда прямоугольные треугольники CKH и CPD подобны по двум углам.

б)  Аналогично пункту а) доказывается подобие прямоугольных треугольников CBK и CHP. Тогда верны равенства:

$дробь: числитель: CB, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: CP конец дроби ,$

$дробь: числитель: CH, знаменатель: CK конец дроби = дробь: числитель: CD, знаменатель: CP конец дроби$

откуда

$CB умножить на CP = CH умножить на CK,$

$CK умножить на CD = CH умножить на CP.$

Перемножая полученные выражения, получаем

откуда $S_ABCD = 64.$

Ответ: б)  64.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  64.

672942

б)  64.

Источник: Пробный экзамен Москва, 10.12.2024. Вариант 2

Методы геометрии: Свойства хорд, Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Подобие, Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	672804	б)  49.
2	672942	б)  64.