PDF-версии: 
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки C1 и B1 соответственно. Оказалось, что BC1 = CB1 = BC.
а) Докажите, что точки B, C и середины отрезков BB1 и CC1 лежат на одной окружности.
б) Найдите косинус угла между прямыми BB1 и CC1, если BC = 8, AB = 15, AC = 17.
Решение. а) Пусть точка M — середина отрезка BB1, точка N — середина отрезка CC1, точка K — середина основания BC. По теореме о средней линии
и 
Отсюда
значит, точки B, M, N, C лежат на окружности с центром K.
б) Пусть отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Поскольку 
угол ABC прямой, значит,
Пусть угол PBC равен α, тогда
Следовательно,
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Александра Турбанова (Липецк).
Заметим, что 
значит, по обратной теореме Пифагора, треугольник ABC прямоугольный. Введем систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. В этой системе координат имеем:
и тогда 
Поскольку CB1 = 8 и AC = 17, то 
Найдем координаты точки B1:
откуда 
Косинус угла между прямыми BB1 и CC1 равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
значит, угол ABC — прямой. Треугольник BCC1 — равнобедренный, угол C1CB равен 45°. Пусть угол B1BC равен α. Тогда
Значит, 
