PDF-версии: 
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и 
Длины боковых рёбер пирамиды 
и 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды SABCD.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение. a) В треугольнике SAB имеем:
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично в треугольнике SAD из равенства
получаем, что 
Прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, поэтому прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD.
б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда 
и DB = CE. Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE.
В прямоугольных треугольниках ABD, SAC и SAE:
По теореме косинусов в треугольнике SCE:
следовательно,
Угол SCE — тупой, значит, искомым углом является смежный с ним угол, он равен 
Ответ: 6)
Примечание.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 513098.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и SD = 10.
Так как прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD.
и 
Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE. 
