Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ = 8, ВС = 12, SA = 6, SB = 10, 
а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB.
а) Треугольник ABS является прямоугольным по теореме, обратной к теореме Пифагора, поскольку
Поэтому прямые SA и AB перпендикулярны. Аналогично треугольник SDA является прямоугольным, поскольку
Поэтому прямые SA и SD перпендикулярны. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б) В треугольнике АВS опустим высоту АН и докажем, что прямая АН перпендикулярна плоскости SCB. Прямые ВС и АВ перпендикулярны, так как ABCD — прямоугольник. Прямые ВС и SA перпендикулярны, так как прямая SA перпендикулярна плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая ВС перпендикулярна плоскости SAB. А значит, прямая ВС перпендикулярна и прямой АН, лежащей в плоскости ABS.
Таким образом, прямая АН перпендикулярна пересекающимся прямым SB и СB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая АН перпендикулярна плоскости SCB, следовательно, расстояние от точки А до плоскости SCB равно высоте АН треугольника АВS. Из прямоугольного треугольника АВS находим, что
Ответ: б) 4,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что 
ВС = 5, SA = 12, SB = 30, SD = 13.
а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB.
а) Треугольник ABS является прямоугольным по теореме, обратной к теореме Пифагора, так как
Поэтому прямые SA и AB перпендикулярны. Аналогично треугольник SDA является прямоугольным, так как
Поэтому прямые SA и SD перпендикулярны. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.
б) В треугольнике АВS опустим высоту АН и докажем, что прямая АН перпендикулярна плоскости SCB. Прямые ВС и АВ перпендикулярны, так как ABCD — прямоугольник. Прямые ВС и SA перпендикулярны, так как прямая SA перпендикулярна плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая ВС перпендикулярна плоскости SAB. А, значит, прямая ВС перпендикулярна и прямой АН, лежащей в плоскости ABS.
Таким образом, прямая АН перпендикулярна пересекающимся прямым SB и СB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая АН перпендикулярна плоскости SCB, следовательно, расстояние от точки А до плоскости SCB равно высоте АН треугольника АВS. Из прямоугольного треугольника АВS находим, что
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх