Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−2; 1].
Запишем второе неравенство в виде
и преобразуем левую часть:
Дискриминант трёхчлена 
равен
Это выражение отрицательно при любом значении a, следовательно, выражение принимает только положительные значения при любых значениях x и a. Таким образом, второе неравенство системы равносильно неравенству x < a. Преобразуем первое неравенство:
Если 
то неравенство 
не имеет решений.
Если 
то 
и на отрезке [−2; 1] решений нет.
Если 
то получаем систему неравенств: 
Чтобы на отрезке [−2; 1] было решение, нужно, чтобы наименьшее из чисел a и −2a было больше чем −2: 
Ответ: (−2; 1).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4 | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 2].
Запишем второе неравенство в виде
и преобразуем левую часть:
Дискриминант трёхчлена 
равен
Это выражение отрицательно при любом значении a, следовательно, выражение принимает только положительные значения при любых значениях x и a. Таким образом, второе неравенство системы равносильно неравенству x < a. Преобразуем первое неравенство:
Если 
то неравенство 
не имеет решений.
Если 
то 
и на отрезке [−1; 2] решений нет.
Если 
то получаем систему неравенств: 
Чтобы на отрезке [−1; 2] было решение, нужно, чтобы наименьшее из чисел a и −2a − 2 было больше чем −1: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх