PDF-версии: 
Найдите, при каких неотрицательных значениях a функция 
на отрезке [−1; 1] имеет ровно одну точку минимума.
Решение. Найдем производную функции и определим, в каких точках производная обращается в нуль:
При a = 0 полученное уравнение имеет два корня: x = 0 и 
Точка 0 является точкой минимума, точка 
является точкой максимума.
При 
уравнение уравнение 
имеет два различных корня, каждый из которых отличен от нуля, а потому производная обращается в нуль в трех различных точках:
и 
что невозможно для положительных а, либо 
откуда 
Левая часть неравенства убывает на интервале 
правая — возрастает, число 
обращает неравенство в верное числовое равенство, поэтому неравенство верно при 
При a = 2 уравнение имеет один корень 
кратности 2, в этой точке производная не меняет знак, а потому это не точка экстремума. Кроме того, производная обращается в нуль при x = 0, это точка минимума.
При a > 2 уравнение не имеет корней, поэтому производная обращается в нуль только при x = 0, это точка минимума.
Таким образом, функция на отрезке [−1; 1] имеет одну точку минимума при 
или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек a = 1,5 и/или a = 2. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающиеся от искомого только исключением a = 0, а также, может быть, включением/исключением точек a = 1,5 и/или a = 2. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Верно найдены все три граничные точки множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
на отрезке [−2; 2] имеет две точки максимума.
Необходимо и достаточно, чтобы f' имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда
— корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения 
лежали на отрезке [−2; 2].
является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:
