Тип 17 № 560782 
Планиметрическая задача. Разные задачи о многоугольниках
i
В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 15, ВС = 18. На стороне АВ отметили точки М1 и М2 так, что AM1 < AM2. Через точки М1 и М2 провели прямые, перпендикулярные стороне АВ и отсекающие от треугольника АВС пятиугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Найдите площадь данного пятиугольника.
Решение. 
а) Заметим, что окружность, вписанная в пятиугольник, о котором говорится в условии задачи, — это окружность, вписанная в треугольник АВС. Пусть вписанная окружность равнобедренного треугольника АВС касается боковой стороны АВ в точке D и основания ВС в точке Е. Тогда АЕ — высота, медиана и биссектриса треугольника АВС,
Пусть О — центр этой окружности, r — её радиус, S — площадь треугольника АВС, р — его полупериметр. Тогда
Пусть СN1M1M2N2 — данный пятиугольник, а Р1 и Р2 — точки касания окружности со сторонами M1N1 и M2N2 соответственно (см. рис.). Тогда четырёхугольники P1M1DO и M2P2OD — это квадраты стороны которых, равны радиусу окружности r. Из треугольника AOD находим, что
Тогда получаем, что
Значит, AM1 : BM2 = 1 : 3.
б) Обозначим 
Тогда 
Из треугольника N2M2B получаем, что
значит,
Из треугольника АВС находим, что 
Тогда
Из треугольника N1M1A получаем, что
Значит,
Следовательно,
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
Из треугольника N2M2B получаем, что
