а)  Да, на­при­мер, если числа на­пи­са­ны так: 3, 1, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9.

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Тогда между лю­бы­ми двумя бли­жай­ши­ми из де­ля­щих­ся на 3 чисел 3, 6 и 9 долж­ны сто­ять ровно три дру­гих числа. Зна­чит, число 3 стоит на пер­вом, пятом или де­вя­том месте. Также среди этих чисел ровно 4 про­стых: 2, 3, 5 и 7. Про­стые и со­став­ные числа долж­ны че­ре­до­вать­ся. Сле­до­ва­тель­но, число 3 стоит на вто­ром, четвёртом, ше­стом или вось­мом месте. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, числа не могли быть рас­став­ле­ны ука­зан­ным об­ра­зом.

в)  Обо­зна­чим через n сумму всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах. По­сколь­ку сумма всех чисел стро­ки равна 45, про­из­ве­де­ние суммы всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах, и суммы всех чисел, сто­я­щих на чётных ме­стах этой стро­ки, равно

При всех на­ту­раль­ных n это про­из­ве­де­ние не пре­вос­хо­дит

Пусть числа рас­став­ле­ны так: 2, 1, 3, 6, 4, 7, 5, 8 и 9. Тогда и

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать про­из­ве­де­ние суммы всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах, и суммы всех чисел, сто­я­щих на чётных ме­стах этой стро­ки, равно 506.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  506.

а)  Да, на­при­мер, если числа на­пи­са­ны так: 3, 10, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9.

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Тогда между лю­бы­ми двумя бли­жай­ши­ми из де­ля­щих­ся на 3 чисел 3, 6 и 9 долж­ны сто­ять ровно три дру­гих числа. Зна­чит, число 3 стоит на пер­вом, пятом или де­вя­том месте. Также среди этих чисел ровно 4 про­стых: 2, 3, 5 и 7. Про­стые и со­став­ные числа долж­ны че­ре­до­вать­ся. Сле­до­ва­тель­но, число 3 стоит на вто­ром, четвёртом, ше­стом или вось­мом месте. При­шли к про­ти­во­ре­чию. Зна­чит, числа не могли быть рас­став­ле­ны ука­зан­ным об­ра­зом.

в)  Обо­зна­чим через n сумму всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах. По­сколь­ку сумма всех чисел стро­ки равна 54, про­из­ве­де­ние суммы всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах, и суммы всех чисел, сто­я­щих на чётных ме­стах этой стро­ки, равно

При всех на­ту­раль­ных n это про­из­ве­де­ние не пре­вос­хо­дит

Пусть числа рас­став­ле­ны так: 2, 10, 3, 6, 5, 7, 8, 4 и 9. Тогда и

Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать про­из­ве­де­ние суммы всех чисел, сто­я­щих на нечётных ме­стах, и суммы всех чисел, сто­я­щих на чётных ме­стах этой стро­ки, равно 729.

Ответ: а) Да; б) нет; в) 729.