Пе­ре­не­сем сла­га­е­мые из пра­вой части в левую и за­ме­тим, что в левой части пол­ный квад­рат:

По­стро­им гра­фик функ­ции в плос­ко­сти xOa на ин­тер­ва­ле При урав­не­ние имеет вид При урав­не­ние имеет вид (см. рис).

За­да­ча све­лась к от­ве­ту на во­прос: при каких зна­че­ни­ях a го­ри­зон­таль­ная пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции в един­ствен­ной точке? На ри­сун­ке видно, что при и при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние Ро­ма­на Про­ко­пен­ко.

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние в сле­ду­ю­щем виде:

Пусть |x|  =  c, а (x − a)  =  b, тогда

Вы­пол­ним об­рат­ную за­ме­ну 3|x|  =  x − a. Рас­смот­рим функ­цию y₁  =  3|x|, y₂  =  x − a.

Пер­вое урав­не­ние за­да­ет функ­цию вида y  =  |x|, гра­фик ко­то­рой рас­тя­нут вдоль оси oY в 3 раза. Вто­рое урав­не­ние за­да­ет функ­цию y  =  x, сме­щен­ную по оси oY на |a|. По­стро­им ука­зан­ные гра­фи­ки в си­сте­ме ко­ор­ди­нат XoY.

Оче­вид­но, что a  =  0 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи: при a  =  0 пря­мая y₂  =  x − a имеет с гра­фи­ком y₁  =  3|x| ровно одну точку пе­ре­се­че­ния на ин­тер­ва­ле (−1; 1).

Далее, если пря­мая прой­дет через точку с ко­ор­ди­на­та­ми (1; 3), то она пе­ре­се­чет гра­фик y₁  =  3|x| также толь­ко в одной точке на ин­тер­ва­ле (−1; 1). Дан­но­му по­ло­же­нию пря­мой со­от­вет­ству­ет сле­ду­ю­щее усло­вие:

Сме­щая пря­мую y₂  =  x − a вверх до­сти­га­ем по­ло­же­ния в ко­то­ром пря­мая пе­ре­се­ка­ет левую ветвь гра­фи­ка в точке (–1;3), а пра­вую - в точке, ко­то­рая не при­над­ле­жит про­ме­жут­ку (–1; 1). При даль­ней­шем дви­же­нии пря­мой вдоль оси oY по­лу­чим, что точки ее пе­ре­се­че­ния с гра­фи­ком y₁  =  3|x| не со­от­вет­ству­ют усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом, дан­ная пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик y₁  =  3|x| в точ­ках абс­цис­сы ко­то­рых лежат в ин­тер­ва­ле (−1; 1) при или при a  =  0. При a  =  −4 урав­не­ние не имеет кор­ней, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

Пе­рейдём к рав­но­силь­но­му урав­не­нию:

Рас­смот­рим функ­цию Эта функ­ция убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на ин­тер­ва­ле (−1; 1) в одном из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев:

1)  функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в ноль в един­ствен­ной точке, и эта точка при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (−1; 1);

2)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет при и не­ну­ле­вые зна­че­ния раз­ных зна­ков;

3)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет ну­ле­вое зна­че­ние при а при   — по­ло­жи­тель­ное;

4)  функ­ция f(x) при­ни­ма­ет ну­ле­вое зна­че­ние при а при   — по­ло­жи­тель­ное.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. Функ­ция f(x) об­ра­ща­ет­ся в ноль в един­ствен­ной точке тогда и толь­ко тогда, когда то есть когда При этом нулём функ­ции яв­ля­ет­ся точка ко­то­рая при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (−1; 1).

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай. Имеем

Рас­смот­рим тре­тий слу­чай. Если то при имеем от­ку­да

Рас­смот­рим четвёртый слу­чай. Если то при имеем

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пе­ре­не­сем сла­га­е­мые из пра­вой части в левую и за­ме­тим, что в левой части пол­ный квад­рат:

По­стро­им гра­фик функ­ции в плос­ко­сти xOa на ин­тер­ва­ле При урав­не­ние имеет вид При урав­не­ние имеет вид (см. рис).

За­да­ча све­лась к от­ве­ту на во­прос: при каких зна­че­ни­ях a го­ри­зон­таль­ная пря­мая пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции в един­ствен­ной точке? На ри­сун­ке видно, что при и при урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.