а)  Пусть сти­ра­ли сле­ду­ю­щие пары чисел: 9 и 19, 10 и 15, 11 и 16, 12 и 17, 13 и 18. Тогда на доске оста­нут­ся числа 14 и 20, сумма ко­то­рых равна 34.

б)  Среди чисел от 59 до 92 ровно 6 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 3, и ровно по 7 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 че­ты­ре дру­гих воз­мож­ных остат­ка. Сле­до­ва­тель­но, среди квад­ра­тов чисел от 59 до 92 ровно 7 чисел, де­ля­щих­ся на 5, ровно 13 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 4, и ровно 14 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 1. По усло­вию каж­дый раз с доски сти­ра­ли два числа, раз­ность ко­то­рых де­лит­ся на 5. Зна­чит, в каж­дой из пар стёртых чисел оба числа дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 5. По­это­му на доске обя­за­тель­но оста­нет­ся число, де­ля­ще­е­ся на 5, и число, ко­то­рое при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 4. Про­из­ве­де­ние этих чисел де­лит­ся на 5 и, сле­до­ва­тель­но, не может окан­чи­вать­ся на цифру 1.

в)  Как было до­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, если на доске оста­лось ровно два числа, то одно из них де­лит­ся на 5, а вто­рое даёт при де­ле­нии на 5 оста­ток 4. Пер­вое из этих чисел не мень­ше 60² и не боль­ше 90², вто­рое не мень­ше 62² и не боль­ше 92². По­это­му если пер­вое из этих чисел по­де­лить на вто­рое, то по­лу­чит­ся не боль­ше а если вто­рое из этих чисел по­де­лить на пер­вое, то по­лу­чит­ся не боль­ше По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, не пре­вос­хо­дит

На доске могли остать­ся числа 92² и 60², так как осталь­ные квад­ра­ты чисел от 59 до 92 можно раз­бить на такие пары: 3 пары чисел, де­ля­щих­ся на 5, 7 пар чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 1, и 6 пар чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 4. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, равно

Ответ: а) да; б) нет; в)

а)  Пусть сти­ра­ли сле­ду­ю­щие пары чисел: 11 и 21, 12 и 17, 13 и 18, 14 и 19, 15 и 20. Тогда на доске оста­нут­ся числа 16 и 22, сумма ко­то­рых равна 38.

б)  Среди чисел от 63 до 96 ровно 6 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 2, и ровно по 7 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 че­ты­ре дру­гих воз­мож­ных остат­ка. Сле­до­ва­тель­но, среди квад­ра­тов чисел от 63 до 96 ровно 7 чисел, де­ля­щих­ся на 5, ровно 13 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 4, и ровно 14 чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 1. По усло­вию каж­дый раз с доски сти­ра­ли два числа, раз­ность ко­то­рых де­лит­ся на 5. Зна­чит, в каж­дой из пар стёртых чисел оба числа дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 5. По­это­му на доске обя­за­тель­но оста­нет­ся число, де­ля­ще­е­ся на 5, и число, ко­то­рое при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 4. Про­из­ве­де­ние этих чисел де­лит­ся на 5 и, сле­до­ва­тель­но, не может окан­чи­вать­ся на цифру 4.

в)  Как было до­ка­за­но в преды­ду­щем пунк­те, если на доске оста­лось ровно два числа, то одно из них де­лит­ся на 5, а вто­рое даёт при де­ле­нии на 5 оста­ток 4. Пер­вое из этих чисел не мень­ше 65² и не боль­ше 95², вто­рое не мень­ше 63² и не боль­ше 93². По­это­му если пер­вое из этих чисел по­де­лить на вто­рое, то по­лу­чит­ся не боль­ше а если вто­рое из этих чисел по­де­лить на пер­вое, то по­лу­чит­ся не боль­ше По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, не пре­вос­хо­дит

На доске могли остать­ся числа 95² и 63², так как осталь­ные квад­ра­ты чисел от 63 до 96 можно раз­бить на такие пары: 3 пары чисел, де­ля­щих­ся на 5, 7 пар чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 1, и 6 пар чисел, да­ю­щих при де­ле­нии на 5 оста­ток 4. Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них, равно

Ответ: а) да; б) нет; в)