Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
Число x = 0 не является корнем уравнения ни при каком значении а. Поэтому уравнение можно разделить на x:
Рассмотрим функцию
и исследуем её поведение на отрезке 
Функция определена при всех 
Найдём производную:
Производная обращается в нуль в точке x = 1. На промежутках 
и 
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — единственная точка минимума, значение в этой точке равно 11. Эскиз графика 
изображён на рисунке.
Найдем значения функции в концах отрезка: 
и 
Поэтому
— если 
то график функции и прямая 
имеют единственную общую точку при 
— если 
общих точек нет;
— если a = 11 линии имеют единственную общую точку 
— если 
то линии имеют две различные общие точки при 
— если 
то линии имеют одну общую точку при 
и ещё одну при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень на отрезке [−1; 2].
Число x = 0 не является корнем уравнения ни при каком значении а. Поэтому уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим функцию
и исследуем её поведение на отрезке 
Функция определена при всех Найдём производную:
Производная обращается в нуль в точке x = 1. На промежутках и функция убывает, а на промежутке — возрастает. Следовательно, точка x = 1 — единственная точка минимума, значение в этой точке равно 7. Эскиз графика изображён на рисунке.
Найдем значения функции в концах отрезка: 
и 
Поэтому
— если 
то график функции и прямая имеют единственную общую точку при 
— если 
общих точек нет;
— если a = 7 линии имеют единственную общую точку 
— если 
то линии имеют две различные общие точки при
— если 
то линии имеют одну общую точку при и ещё одну при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх