ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 523995 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Параллельность прямой и плоскости, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.

б)  Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

Решение.

а)  Пусть точка Q  — середина ребра MA, а точка K  — середина ребра MB. Плоскость $альфа$ пересекает грань BMC по отрезку KL (точка L лежит на ребре BC), параллельному ребру MC. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK. Следовательно, плоскость $альфа$ параллельна плоскости грани CMD. Поэтому прямая MD параллельна плоскости $альфа .$

б)  Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости $альфа$ рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания  — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение  — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:

$OH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Искомый угол равен углу HCO. В прямоугольном треугольнике OHC имеем:

$синус \angle HCO = дробь: числитель: OH, знаменатель: OC конец дроби = дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 2, знаменатель: 4 умножить на a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;\angle HCO = 30 градусов.$

Ответ: б) 30°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 30°.

Аналоги к заданию № 523995: 524022 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 14 № 524022 Добавить в вариант

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

а)  Докажите, что плоскость $альфа$ параллельна ребру MC.

б)  Найдите угол между плоскостью $альфа$ и прямой BD.

Решение.

а)  Пусть точка Q  — середина ребра MA, а точка K  — середина ребра MB. Плоскость $альфа$ пересекает грань AMD по отрезку QP (точка P лежит на ребре AD), параллельному ребру MD. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK. Следовательно, плоскость $альфа$ параллельна плоскости грани CMD. Поэтому прямая MC параллельна плоскости $альфа .$

б)  Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости $альфа$ рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания  — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение  — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:

Искомый угол равен углу HDO. В прямоугольном треугольнике OHD имеем:

$синус \angle HDO = дробь: числитель: OH, знаменатель: OD конец дроби = дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 2, знаменатель: 4 умножить на a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,\angle HDO = 30 градусов.$

Ответ: б) 30°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 30°.

Аналоги к заданию № 523995: 524022 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе