Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер:

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7. Тогда на доске на­пи­са­но 28 чет­ных чисел. Их сумма не мень­ше, чем:

Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7.

в)  За­ме­тим, что число 810 крат­но 2, сумма чет­ных чисел крат­на двум, тогда и сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тоже крат­на двум. Чтобы сумма не­чет­ных чисел де­ли­лась на два, сла­га­е­мых долж­но быть чет­ное ко­ли­че­ство. В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, тогда наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство таких чисел  — 4.

При­ве­дем при­мер, когда на доске на­пи­са­но че­ты­ре числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер:

б)  Пусть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, сумма двух не­чет­ных чисел четна, тогда сумма всех чисел, на­пи­сан­ных на доске де­лит­ся на два, но 877 не крат­но 2  — про­ти­во­ре­чие. Таким об­ра­зом, на доске не может быть ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9.

в)  Все числа на­пи­сан­ные на доске чет­ны­ми быть не могут. Пусть на доске на­пи­са­но одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 9, и 29 чет­ных чисел. Сумма всех чисел не мень­ше суммы:

В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9, тогда их ко­ли­че­ство не мень­ше 3. В пунк­те а) при­ве­ден при­мер, когда на доске на­пи­са­но три таких числа, зна­чит, наи­мень­шее ко­ли­че­ство окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9 чисел  —  3.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3.

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер: 2 + 4 + ... + 42 + 44 + 56 + 3 + 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63  =  793.

б)  Пусть на доске на­пи­са­но одно число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 3. Тогда на доске на­пи­са­но 29 чётных чисел. Их сумма не мень­ше, чем: Это про­ти­во­ре­чит тому, что сумма равна 793.

в)  За­ме­тим, что число 793 не крат­но 2, сумма чётных чисел крат­на двум, тогда сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, долж­на быть не крат­на двум, то есть сла­га­е­мых, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3, долж­но быть нечётное ко­ли­че­ство. В пунк­те б) по­ка­за­но, что на доске не может быть на­пи­са­но толь­ко одно число окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 3. Пусть на доске на­пи­са­но три таких числа, их ми­ни­маль­ная сумма:   — боль­ше чем 793. Тогда наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 3  — пять.

При­ведём при­мер, когда на доске на­пи­са­но 5 чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на три:

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.